А пока вы размышляете над выводом формулы соотношения между V, E и F, я сверю данные в таблице. Для простой пространственной фигуры (например, для пирамиды) посчитать количество составляющих ее частей несложно: пять вершин (четыре у основания и одна сверху), восемь ребер (опять-таки четыре у основания и еще четыре, ведущие наверх) и пять граней (четыре треугольника, один квадрат). Тетраэдр и призма тоже не вызывают затруднений. О кубе и говорить нечего – все мы с ним знакомы. У куба восемь вершин (четыре снизу, четыре сверху), 12 ребер (четыре внизу, четыре вверху и четыре вертикальных), 6 граней (мы все играли в кости).
Другие многогранники сложнее себе представить. Ради простоты можно расплющить их следующим образом: представьте, что многогранник пустой изнутри и мы вырезаем ножницами одну из граней, а потом растягиваем многогранник, пока он не станет плоским. На рисунке показано, что получится в итоге.
Начнем с октаэдра. На рисунке ясно видно: V = 6. Во время подсчета граней легко ошибиться и сказать, что их семь, но не будем забывать об одной вырезанной грани. Таким образом, F = 8.
А вот маленький трюк для подсчета ребер. Пометьте штрихом ребра, сходящиеся у каждой вершины, таким образом:
Сколько штрихов на рисунке? У каждой вершины сходятся по четыре ребра, поэтому количество штрихов в четыре раза больше количества вершин: 4 × V = 4 × 6 = 24. С другой стороны, на каждом ребре по два штриха, и если количество штрихов равно 2E, то E = 12.
Продолжим в том же духе с икосаэдром. На плоском рисунке мы видим три вершины у острых углов, шесть, образующих правильный шестиугольник, и еще три в центре. Итого V = 3 + 6 + 3 = 12. Посчитаем грани: 9 треугольников на плоском рисунке имеют вершины при острых углах, вершины еще 9 совпадают с вершинами шестиугольника, плюс еще один треугольник лежит в сердцевине. Итого 9 + 9 + 1 = 19, и не будем забывать про вырезанную грань; таким образом, F = 20. Для подсчета ребер мы используем трюк со штрихами. Пометив ребра, сходящиеся у вершин, мы нанесем в общей сложности 5 × 12 = 60 штрихов, по пять около каждой вершины. Поскольку на каждом ребре оказалось по два штриха, E = 30.
Пришло время вернуться к великолепной формуле, показывающей соотношение вершин, ребер и граней многогранников; впервые она была открыта Эйлером
[174], а теперь (я надеюсь) ее заново открыли вы.
Отмечу, что сумма количества вершин и граней на 2 больше количества ребер. Например, у куба V = 8, а F = 6, следовательно, V + F = 14, что на 2 больше E = 12. Таким образом, V + F = E + 2. Обычно формулу Эйлера записывают следующим образом:
Посмотрим, как это работает.
Мы расплющили наши многогранники
[175], вынув одну грань и растянув то, что осталось. Количество областей на плоском рисунке в точности равно количеству граней F: вынутая грань соответствует всему контуру целиком, другие грани соответствуют контурам внутри. Таким образом, количество вершин, ребер и областей равно V, E и F соответственно. Алгебраическое выражение V – E + F имеет определенное числовое значение; сейчас я постараюсь убедить вас, что оно неизменно равно 2.
Для начала я сотру одно ребро. Что произойдет с количеством вершин, ребер и областей? Количество вершин не поменялось – я всего лишь стер ребро. Количество ребер, естественно, уменьшилось на 1. А что произошло с количеством граней? Как можно видеть на рисунке, две грани по обе стороны исчезнувшего ребра слились в одну грань, так что количество граней уменьшилось на единицу.
Обозначим количество вершин/ребер/граней на новом рисунке через V', E' и F'. Что мы имеем?
V' = V,
E' = E – 1,
F' = F – 1.
Следовательно, V' – E' + F' = V – (E – 1) + (F – 1) = V – E + F.
Если я докажу, что V' – E' + F' = 2, то и V – E + F = 2.
Моя стратегия такова: я стану стирать всё новые и новые ребра. Всякий раз количество ребер и количество граней будет уменьшаться на единицу. Но мне следует проявить осторожность. Рано или поздно я дойду до ребра, слева и справа от которого будет одна и та же область; поглядите на жирную черточку на рисунке. Я не должен стирать ребра таким образом, чтобы рисунок оказался разбит на несколько не связанных между собою замкнутых областей.
Сколько бы ребер я ни стер, число V – E + F (чему бы оно ни было равно) останется неизменным.
В конце концов все области сольются в одну (в наших обозначениях F = 1), и я не смогу безболезненно извлечь больше ни одного ребра (посмотрите на рисунок). После этого я перейду ко второй части своих разрушительных поисков.
На рисунке больше нет замкнутых областей. Я возьму любую вершину наугад и отправлюсь в вояж по ребрам и вершинам. Этот путь не сможет привести меня в исходную вершину, поскольку замкнутых областей больше нет; рано или поздно он закончится (так как количество вершин конечно), в некоторой вершине он зайдет в тупик. Эту вершину называют лист.
Я начну срывать листья и отламывать «ветки», на которых они держатся. Что произойдет с числом V – E + F? Количество вершин будет уменьшаться на 1 (сорванный лист), количество ребер тоже будет уменьшаться на 1 (сорванная «ветвь»), а количество граней останется неизменным (у нас всего одна грань). Иными словами,
