Процесс продолжается и продолжается. Каждый, кто участвует в нем, вызывает трех своих помощников и велит рассечь треугольники по тому же принципу. И вот что получается:
Бессчетные подручные орудуют ножами
[178]. Их становится все больше и больше, их число стремится к бесконечности. В конце концов – когда бы ни наступил этот конец – мы получим треугольник Серпинского
[179].
Треугольник Серпинского, как и всякий фрактал, обладает двумя особенностями: он самоподобен и имеет дробную размерность.
Легко понять, что такое самоподобие. Треугольник Серпинского состоит из трех маленьких копий самого себя, а каждая из этих копий состоит из трех других копий. Когда вы вооружитесь мощнейшим микроскопом, обнаружится, что мельчайшие треугольники собраны из собственных копий. Все составные части подобны друг другу.
Но что такое дробная размерность?
Между измерениями
Объекты в евклидовой геометрии можно рассортировать по количеству измерений.
Отрезки, дуги окружностей, границы квадратов и все такое прочее имеет одно измерение. У них есть длина, но нет толщины. Винтовая линия тоже одномерна, хотя закручивается в трехмерном пространстве.
Четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники (на сей раз мы учитываем области внутри), круги и другие фигуры подобного рода имеют два измерения: у них есть площадь, но нет объема. Поверхность цилиндра имеет два измерения, хоти и не лежит на ровной плоскости.
Шары, кубы и другие фигуры того же класса имеют три измерения: у них есть объем.
А как насчет треугольника Серпинского? Мы начали с обычного равностороннего треугольника; видимо, у треугольника Серпинского два измерения. Но как узнать его площадь?
Для простоты будем считать, что площадь исходного треугольного куска теста равна 1 условной единице площади (например, одному квадратному сантиметру). Шеф-повар рассек треугольник на четыре одинаковых куска. Площадь выброшенного куска равна 1/4 изначальной площади; таким образом, на первом шаге площадь нашей фигуры равна 3/4 квадратного сантиметра.
Три помощника шеф-повара вырезали еще 1/4 площади, осталось 3/4 от 3/4 площади самого большого треугольника. Помощники помощников шеф-повара вырезали еще 1/4… Иными словами, на этапе n остается
начальной площади.
После 16 этапов около 99 % площади исчезнет. Если устремить n к бесконечности, вся площадь уничтожится; останутся лишь границы треугольников, у которых нет никакой площади.
Получается, у треугольника Серпинского одно измерение? Если так, то попробуем вычислить его длину.
Начнем сразу с пустого треугольника. Дальше добавляются три отрезка, соединяющих середины сторон треугольника. Повторим эту процедуру с тремя треугольниками по краям, не трогая треугольник по центру. Мы будем множить треугольники снова и снова следующим образом:
Для удобства расчетов будем считать, что длина стороны большого треугольника равна 1 условной единице
[180]. Таким образом, сумма длин его сторон составляет 3.
Новый треугольник внутри большого добавляет три отрезка, длина каждого равна 1/2. То есть на первом этапе общая длина возрастает на 3/2.
На втором этапе появляется еще девять отрезков (по три внутри каждого из трех треугольников по краям). Длина каждого маленького отрезка равна 1/4, и нам нужно прибавить к общей длине еще 9/4.
На третьем этапе возникают еще 27 отрезков (по три внутри девяти треугольников). Длина каждого равна 1/8, поэтому мы прибавляем 27/8 к итоговой длине.
Следующий этап прибавляет 81/16, и т. д. На этапе n мы прибавляем
Чем больше n, тем больше общая длина.
Вывод: сумма длин всех отрезков, составляющих треугольник Серпинского, бесконечна!
Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь и бесконечную длину. Неужели у этой фигуры больше одного измерения и меньше двух? Умозаключение кажется туманным, можно выразиться поточнее. Сейчас мы покажем, что треугольник Серпинского имеет измерение 1,5849625007… Честное слово!
Подсчитываем клеточки
Количество измерений геометрической фигуры характеризует ее «толщину». Объект с одним измерением (например, отрезок) «тоньше», чем область внутри треугольника, а она, в свою очередь, «тоньше», чем шар. Посмотрим, как выразить эту расплывчатую идею «толщины» и «тонкости» на строгом математическом языке.
Идея состоит в том, чтобы начертить фигуру на миллиметровке. Мы будем рисовать одну и ту же фигуру снова и снова на бумаге со все более и более мелкой сеткой.
Проиллюстрируем эту идею с помощью незамысловатой загогулины. Изобразим одну и ту же загогулину на бумаге, размеченной клеточками 1 × 1, затем 1/2 × 1/2, затем 1/4 × 1/4 и т. д. Вот результат:
Мы закрасили клеточки, затронутые нашей кривой. Посчитаем их количество:
Заметим, что при уменьшении стороны клеточки вдвое мы, грубо говоря, удваиваем количество клеточек, необходимых для покрытия кривой. Почему так? Каждая клеточка покрывает часть длины кривой. Когда мы уменьшаем длину клеточки в два раза, нам нужно где-то в два раза больше клеточек. Это соотношение можно выразить уравнением:
