5 × 10³ + 8 × 10² + 0 × 101 + 4 × 100.
Чем больше символов в десятичном числе, тем труднее его прочесть. Обычно каждый четвертый разряд отделяют пробелом или запятой
[33].
Двоичная система устроена схожим образом, просто позиция в записи означает, на какую степень двух (а не десяти) мы должны умножить эту конкретную цифру.
В двоичной системе счисления используются всего два символа: 0 и 1. Разряды здесь тоже растут справа налево, обозначая количество единиц, двоек, четверок, восьмерок и т. д. Например, в двоичной записи 10110 означает:
1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 21 + 0 × 20 = 16 + 4 + 2 = 22.
Проверьте, насколько вы ориентируетесь в новой теме: чему равно число 42 в двоичной системе и чему равно число 110112 в десятичной
[34]? Ответы – в конце главы.
Вычисления
Двоичные числа труднее для чтения, чем десятичные. Двоичная запись 1011001 кажется менее привычной, чем десятичная запись того же числа: 89. Преимущество двоичных чисел в том, что их использование облегчает вычисления. Вместо огромного количества математических данных нам необходимы всего две таблицы:
Заметьте, что в таблице умножения 10 означает число два.
Сложение двоичных чисел устроено так же, как в десятичной системе. Например, нам нужно найти сумму 101002 и 11102. Расположим эти числа друг над другом:
Дальше нужно двигаться справа налево, складывая цифры в каждом столбце и при необходимости перемещая единицу на столбец влево. В нашем случае мы сложим два нуля и получим ноль:
Дальше идет столбец двоек. Мы складываем 1 и 0 (переносить ничего не требуется):
Дальше – столбец четверок. Мы складываем 1 и 1, получаем 10, пишем 0, держим 1 в уме и переносим на столбец влево:
Следующий столбец – восьмерки. Складываем 1 и 0 и 1, получаем 10, пишем 0 и держим 1 в уме:
Заканчиваем на столбце, означающем, сколько раз в числе встречается 16. Сложение дает 10, мы пишем 0 в текущем столбце и 1 в столбце с разрядом 32:
Мы обнаружили, что 10100 + 1110 = 100010.
Переведем это на язык десятичных чисел:
101002 = 20, 11102 = 14, 1000102 = 34.
Разумеется, 20 + 14 = 34.
Умножение в двоичной системе проще, чем в десятичной. Достаточно усвоить два принципа: сложение двоичных чисел (мы в нем только что разобрались) и умножение на степени двойки.
Умножение числа на 10 в десятичной системе не представляет сложности: мы просто добавляем цифру 0 справа: 23 × 10 = 230. Точно так же выглядит умножение на 2 в двоичной системе: 1101 × 10 = 11010. В случае десятичных чисел это очевидно, в случае двоичных 1101 означает:
1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1.
Умножение на 2:
1 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1.
Лишний ноль на конце дает 11010.
Умножение на 4, 8 и другие степени двойки тоже просто: например, умножение на 810 (10002) равнозначно приращению трех нулей с правой стороны числа.
Итак, умножение превращается в игру «перемести-и-добавь-цифры». Проиллюстрируем это на примере умножения 11010 на 1011. Для начала запишем второе число так:
Умножение на 11010 можно представить так:
11010 × 1011 = 11010 × (1000 + 10 + 1) = 11010 × 1000 + 11010 × 10 + 11010 × 1 = 11010000 + 110100 + 11010.
Удобнее умножать в столбик:
А вот и ответ:
Давайте переведем числа в десятичные, чтобы удостовериться, что все правильно:
110102 = 16 + 8 + 2 = 26;
10112 = 8 + 2 + 1 = 11;
1000111102 = 256 + 16 + 8 + 4 + 2 = 286.
Мы не ошиблись: 26 × 11 = 286.
Дроби
В десятичной системе мы можем записывать не только целые числа. Если поставить в конце запятую
[35], мы получим новые места для цифр: по мере движения вправо степени десяти будут все меньше. Например, 34,27 – это компактный способ записи такого выражения:
