Лобачевский допускает, что через данную точку можно провести две параллели к данной прямой. И сохраняет остальные аксиомы Евклида. Из этих гипотез он выводит серию непротиворечивых теорем и выстраивает геометрию, чья безупречная логика ни в чем не уступает логике евклидовой геометрии.
Стало быть, собственной неспособностью найти противоречия он доказывает, что пятый постулат несводим к аксиомам попроще.
Но тревожило не доказательство. И его, и все остальное в математике вскоре затмила рациональная побочка этого доказательства. Математика, краеугольный камень научной определенности, вдруг стала неопределенной.
У нас появились два противоречащих друг другу видения непоколебимой научной истины, которая истинна для всех во все времена безотносительно чьих-либо личных пристрастий.
Вот что и стало основой глубокого кризиса, который подорвал научное самодовольство позолоченного века. Откуда нам знать, какая из геометрий верна? Если нет основания, если геометрии никак не отличить друг от друга, вся наша математика допускает логические противоречия. Но математика, допускающая внутренние логические противоречия, – вообще не математика. Выходит, что неевклидовы геометрии применимы не более бессмысленной бредятины колдуна, где вера поддерживается лишь самой верой!
И, само собой, раз двери открылись, едва ли можно было ожидать, что противоречащие друг другу системы непоколебимой научной истины ограничатся двумя. Появился немец по фамилии Риман – с еще одной непоколебимой системой геометрии, которая швыряет за борт не только постулат Евклида, но и первую аксиому, утверждающую, что через две точки можно провести лишь одну прямую. Снова нет внутреннего противоречия – есть только несовместимость с геометриями Евклида и Лобачевского.
По теории относительности лучше всего описывает наш мир геометрия Римана.
У Три-Форкс дорога врезается в узкий каньон, где скалы покрыты беловатым налетом, и проходит мимо пещер Льюиса и Кларка. К западу от Бьютта преодолеваем долгий и трудный подъем, пересекаем Великий континентальный раздел и спускаемся в долину. Затем минуем огромную трубу плавильного завода в Анаконде, заворачиваем в сам городок и находим отличный ресторан со стейками и кофе. Потом долго поднимаемся по дороге, что ведет к озеру в хвойных лесах, едем мимо рыбаков, сталкивающих на воду лодчонку. Дорога опять сворачивает в сосны, и я по солнцу определяю, что утро уже почти на исходе.
Проезжаем через Филлипсберг и выбираемся на луга в долине. Встречный ветер резче, и я сбавляю скорость до пятидесяти пяти, чтобы не так дуло. Едем сквозь Мэксвилл, а когда приближаемся к Холлу, нам уже очень нужно отдохнуть.
У дороги находим погост и останавливаемся. Поднялся сильный ветер и стало зябко, но солнце греет, и мы кладем шлемы и расстилаем куртки с подветренной стороны церквушки. Здесь очень открыто и одиноко, но прекрасно. Когда вдалеке горы или даже холмы – есть простор. Крис утыкается лицом в куртку и пытается заснуть.
Теперь, без Сазерлендов, все иначе – одиноко. Прости, но я еще немного поговорю, пока не пройдет одиночество.
Чтобы разрешить проблему математической истины, говорил Пуанкаре, сначала надо спросить себя, какова природа геометрических аксиом. Это синтетические априорные суждения, как говорил Кант? То есть существуют ли они как фиксированная часть человеческого сознания, вне зависимости от опыта и не созданные опытом? Пуанкаре считал, что нет. Они бы тогда навязались нам с такой силой, что ни вообразить противоположного предположения, ни построить на нем теоретическую доктрину. Тогда бы не возникло неевклидовой геометрии.
Значит, надо заключить, что аксиомы геометрии – экспериментальные истины? Пуанкаре и так не считал. Они бы тогда по мере поступления новых лабораторных данных подвергались непрерывному изменению и пересмотру. А это противоречит природе самой геометрии.
Пуанкаре пришел к выводу, что аксиомы геометрии – условности; наш выбор из всех возможных условностей направляется экспериментальными фактами, но остается свободным и ограничивается лишь необходимостью избегать любого противоречия. Таким образом, постулаты могут оставаться строго истинными, даже если экспериментальные законы, определявшие их приятие, всего лишь приближенны. Аксиомы геометрии, иными словами, – просто замаскированные определения.
После чего, установив природу геометрических аксиом, он обратился к вопросу, какая геометрия истинна – Евклида или Римана?
И ответил: вопрос лишен смысла.
С таким же успехом можно спросить: является ли метрическая система мер истинной, а аптекарская – ложной? является ли картезианская система координат истинной, а полярная – ложной? Одна геометрия не может быть истиннее другой. Она может быть только удобнее. Геометрия не истинна, она выгодна.
Затем Пуанкаре перешел к демонстрации условностной природы других понятий науки, вроде пространства и времени; он показывал, что нет способа измерять эти сущности, который был бы истиннее другого. Если что-то всеми принято, оно просто-напросто удобнее.
Наши понятия пространства и времени – тоже определения, их выбрали за удобство обращения с фактами.
Тем не менее столь радикальное понимание основных научных концепций далеко не полно. Тайну пространства и времени это, может, и объясняет чуть понятнее, но теперь поддерживать порядок вселенной должны «факты». Что такое факты?
Пуанкаре подошел к фактам критически. Какие факты вы собираетесь наблюдать? – спросил он. Их бесконечное множество. Недифференцированное наблюдение фактов может стать наукой с той же вероятностью, с какой мартышка за пишмашинкой сочинит «Отче наш».
То же самое и с гипотезами. «Какие гипотезы? – писал Пуанкаре. – Если явление допускает одно полное механическое толкование, оно допустит и бесконечное множество других, которые так же неплохо будут описывать все особенности, выявленные экспериментом». Это суждение Федр вынес в лаборатории; с ним возникал вопрос, из-за которого его выперли из школы.
Будь у ученого в распоряжении неограниченное время, утверждал Пуанкаре, ему надо было бы только сказать: «Смотри и замечай хорошенько». А поскольку видеть все времени нет и лучше не видеть вообще, чем видеть неверно, ученому необходимо делать выбор.
Пуанкаре разработал кое-какие правила: есть иерархия фактов.
Чем более общ факт – тем он дороже. Те, что могут послужить много раз, – лучше тех, у которых мало шансов всплыть вновь. Биологи, например, не знали бы, как строить науку, будь у них в наличии только особи, без видов, и не делай наследственность детей похожими на родителей.
Какие факты возникают снова и снова? Простые. Как их узнать? Выбирай те, что кажутся простыми. Либо эта простота реальна, либо в ней неразличимы сложные элементы. В первом случае мы скорее всего встретим этот простой факт снова – либо сам по себе, либо как элемент сложного факта. Второй случай тоже запросто может возникнуть снова, ибо природа не конструирует такие случаи наобум.
