Поле p-адических чисел обозначается символом Qp. Таким образом, имеются поле Q2, поле Q3, поле Q5, поле Q7, поле Q11 и т.д. Каждое из них — полное поле: Q2 есть поле 2-адических чисел, Q3 есть поле 3-адических чисел и т.д.
Как можно догадаться уже из обозначений, p-адические числа чем-то похожи на обычные рациональные числа. Однако поле Qp богаче и устроено более сложно, чем поле Q, и в некоторых отношениях скорее напоминает поле вещественных чисел R. Как и R, поле Qp можно использовать для пополнения поля Q.
Здесь вы можете высказать определенное недоумение: «Все отлично, но ведь было сказано, что поле Qp этих странных новых объектов — р-адических чисел — существует для всякого простого числа p и что любое Qp позволяет пополнить поле Q; так какое же из них надо предпочесть? Q2? Q3? Q11? Q45827? Какое простое число должен выбрать профессор Конн, чтобы устроить свой фокус — перекинуть мост между простыми числами и физикой динамических систем?»
Ответ таков: их все! Дело в том, что имеется алгебраическое понятие, называемое аделем, которое охватывает в свои широкие объятия все Qp для всех простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, …. И там же оказываются и вещественные числа! Адели построены из Q2, Q3, Q5, Q7, … и R способом, напоминающим тот, каким p-адические числа построены из CLOCKp, CLOCKp2, CLOCKp3, …. Если угодно, адели находятся на один уровень абстракции выше p-адических чисел, которые сами располагаются на один уровень абстракции выше, чем рациональные числа.
Если от всего этого у вас кружится голова, то достаточно сказать, что имеется класс суперчисел, являющихся одновременно 2- адическими, 3-адическиими, 5-адическими, … и при этом еще и вещественными. В каждое из этих суперчисел вложены все простые числа.
Без сомнения, адель — довольно заумное понятие. Однако нет на свете ничего настолько заумного, чтобы оно рано или поздно не пробило себе дорогу в физику. В 1990-х годах математические физики взялись за создание адельной квантовой механики, где реальные измерения в эксперименте, приводящие к рациональным числам, воспринимаются как проявление этих причудливых созданий, вытащенных из темных глубин математической бездны.
Пространство такого типа — адельное пространство — и построил Ален Конн в качестве площадки, где может резвиться его риманов оператор. Из-за того что оно адельное, в него, так сказать, встроены все простые числа. Действующие на этом пространстве операторы по необходимости основаны на простых числах. Теперь, я надеюсь, стало немного понятнее, как же можно построить риманов оператор, собственные значения которого являются в точности нетривиальными нулями дзета-функции, а в пространство, на котором он действует, простые числа встроены тем способом, который я пытался описать, но которое при этом имеет отношение к реальным физическим системам — реальным наборам субатомных частиц.
Доказательство Гипотезы Римана (ГР) в этом случае сводится к доказательству определенной следовой формулы — т.е. формулы типа формулы Гутцвиллера, которая связывает собственные значения оператора, действующего на конновском адельном пространстве, с периодическими орбитами в некоторой аналоговой классической системе. Поскольку простые числа уже встроены в одну часть формулы, все должно получиться без труда. Некоторым образом так и происходит, и конструкция Конна элегантна до блеска — уровни энергии в ней суть в точности нули дзета-функции на критической прямой. К сожалению, из нее до сих пор не последовало даже намеков на то, почему же нули дзета-функции не могут оказаться вне критической прямой!
Спектр мнений о ценности построения Конна довольно широк. Вовсе не будучи уверенным, что я сам ее понимаю, я опросил нескольких настоящих математиков, работающих в этой области. Сейчас мне надо продвигаться вперед с крайней осторожностью. Насколько мне известно, Ален Конн, возможно, заявит о доказательстве Гипотезы Римана в тот день, когда эта книга выйдет из печати, и мне не хотелось бы никого вводить в заблуждение. Приведу две цитаты из того, что мне сказали профессионалы:
Математик X: «Колоссально важная работа! Конн не только докажет ГР, но заодно и предложит нам Единую теорию поля!»
Математик Y: «То, что по сути сделал Конн, сводится к замене одной нерешаемой задачи на другую задачу, которая равным образом не решается».
У меня недостаточно подготовки, чтобы выбрать, какая из точек зрения правильна. Но с учетом высокого положения и способностей математиков X и Y я сильно подозреваю, что одна из них наверняка верна…
[184]
VI.
Разумеется, активно развиваются и другие подходы к ГР. Алгебраический подход с помощью конечных полей, упомянутый в главе 17, никуда не делся. И, как мы мельком видели в разделе V, этот подход демонстрирует интересные связи с физическим направлением исследований ГР. Аналитическая теория чисел также остается активной областью, способной выдавать сильные результаты.
Имеются два непрямых подхода. Например, есть наша теорема
15.2 о функции M, получаемой накапливанием значений мебиусовой функции μ. Эта теорема, как было сказано, в точности эквивалентна Гипотезе. Специалист по аналитической теории чисел Деннис Хеджхал из университета Миннесоты использует этот подход, чтобы познакомить с Гипотезой Римана нематематическую аудиторию и при этом избежать введения комплексных чисел. Вот как, по его словам (я пересказываю, а не цитирую), выражается ГР.
Выпишем все натуральные числа, начиная с 2. Под каждым числом запишем его простые делители. Затем, игнорируя всякое число, среди делителей которого есть квадрат (или любая более высокая степень, которая по необходимости содержит в себе и квадрат), будем двигаться вдоль чисел, отмечая как «орел» каждое число с четным числом простых делителей и как «решку» — с нечетным. Получаем бесконечную строку из орлов и решек — нечто вроде того, что возникает в опыте по подбрасыванию монеты:
