Онлайн книга «Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике»
| N | eN |
|---|---|
| 1 | 2,718281828459 |
| 2 | 7,389056098931 |
| 3 | 20,085536923188 |
| 4 | 54,598150033144 |
(здесь точность — 12 знаков после запятой). Основной принцип, конечно, сохраняется — аргументы (левая колонка) растут каждый раз за счет добавления 1; при этом значения в правой колонке каждый раз умножаются на e.
VII.
А если наоборот? Представим себе функцию, основанную на таком правиле: когда аргумент растет «по умножению», значения растут «по сложению». Что за функция получится?
Здесь мы вступаем в царство обратных функций. Математики имеют особое пристрастие к тому, чтобы обращать самые разные вещи — выворачивать их наизнанку. Если у есть 8 умножить на x, то как выразить x через y? Понятно, что это y/8. Деление обратно умножению. Еще есть такое любимое нами действие, как возведение в квадрат, когда мы умножаем число само на себя. И каково же его обращение? Если y = x2, то чему равен x в терминах y? Ну да, это квадратный корень из y. Если вы немного знакомы с анализом, то знаете, что есть действие, называемое «дифференцированием», которое позволяет превратить функцию f в другую функцию — g, говорящую о том, какова мгновенная скорость изменения функции f при каждом ее аргументе. И каково же действие, обратное дифференцированию? Это интегрирование. Ну и так далее. Обращение станет ключевой темой позднее, когда мы вникнем в работу Римана 1859 года.
С точки зрения принятого нами подхода, когда функции показаны в виде таблиц, обращение просто означает отражение таблицы, при котором ее правая часть становится левой, а левая — правой. Правда, это быстрый способ нажить себе неприятности. Возьмем функцию возведения в квадрат — скорее всего, первую нетривиальную функцию, с которой вы познакомились в школе. Чтобы возвести число в квадрат, мы умножаем его само на себя. Вот соответствующая таблица:
| N | N2 |
|---|---|
| −3 | 9 |
| −2 | 4 |
| −1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
(Я полагаю, что вы помните о правиле знаков, так что −3 умножить на −3 дает 9, а не −9). [19] А теперь поменяем колонки местами и получим обратную функцию:
| N | √N |
|---|---|
| 9 | −3 |
| 4 | −2 |
| 1 | −1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
Но постойте-ка! Каково же значение функции при аргументе, равном 9? Это −3 или 3? Похоже, что эта функция принимает такой вид:
| N | √N |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 1, а может быть, −1 |
| 4 | 2 или, возможно, −2 |
| 9 | 3, или это может равняться −3? |
Так дело не пойдет — слишком путано. Вообще-то… вообще-то существует математическая теория многозначных функций. Бернхард Риман был знатоком этой теории, и мы познакомимся с его идеями в главе 13.v. Но сейчас не время и не место для этого, и я не собираюсь тащить сюда сундук, набитый подобными вещами. Во всяком случае, что касается меня, то железное правило состоит в том, что на один аргумент — самое большее одно значение (ни одного значения, разумеется, если аргумент не лежит в области определения функции). Квадратный корень из 1 равен 1, квадратный корень из 4 равен 2, квадратный корень из 9 равен 3. Означает ли это, что я не признаю того факта, что −3 умножить на −3 даст 9? Разумеется, я его признаю, я просто не включаю его в мое определение «квадратного корня». Вот мое определение квадратного корня (по крайней мере на данный момент): квадратный корень из N есть единственное неотрицательное число (если таковое имеется), которое при умножении само на себя дает N.