Базельская задача подводит нас к дзета-функции — объекту, с которым мы имеем дело в Гипотезе Римана. Но прежде чем мы сможем познакомиться с дзета-функцией, надо вспомнить кое-что из математических основ: степени, корни и логарифмы.
II.
Степени — это прежде всего повторяющееся умножение. Число 123 — это 12×12×12, где перемножаются три сомножителя, а 125 — это 12×12×12×12×12, где сомножителей пять. Что получится, если умножить 123 на 125? Это будет (12×12×12)×(12×12×12×12×12), что, конечно, составляет 128. Надо просто сложить степени: 3 + 5 = 8. В этом и состоит первое великое правило действий со степенями.
1-е правило действий со степенями:
xm×xn = xm + n.
(Давайте я здесь прямо и скажу, что во всем этом разделе мы будем иметь дело только с положительными значениями буквы x. Возводить в степень нуль — пустая трата времени, а возведение в степень отрицательных чисел приводит к занятным проблемам, о которых мы поговорим позднее.)
Что будет, если разделить 125 на 123? То есть вычислить (12×12×12×12×12)/(12×12×12). Можно сократить три множителя 12 сверху и снизу, и в результате останется 12×12, т.е. 122. Как видно, это все равно что вычесть степени.
2-е правило действий со степенями:
xm: xn = xm − n.
А теперь возведем 125 в куб: (12×12×12×12×12)×(12×12×12×12×12)×(12×12×12×12×12) дает 1215. На этот раз степени перемножаются.
3-е правило действий со степенями:
(xn)m = xmn.
Таковы три самых важных правила, которые говорят нам, как обращаться со степенями. В дальнейшем мы будем ссылаться на них как на «правила действий со степенями» без дополнительных объяснений. Однако это пока не все правила. Нам потребуется еще несколько, потому что до сих пор у нас были степени, выражаемые положительными целыми числами. А как обстоит дело с отрицательными и дробными степенями? А со степенью нуль?
Начав с последнего, заметим, что если x0 вообще что-нибудь будет означать, то хорошо бы добиться согласованности с теми правилами, которые у нас уже есть, потому что они являются прямым выражением здравого смысла. Возьмем во 2-м правиле n равным m. Тогда в правой части, как видно, получится x0. А в левой части будет xm: xm. Но когда число делится само на себя, получается единица.
4- e правило действий со степенями:
x0 = 1 для всякого положительного числа x.
2-е правило можно использовать и для того, чтобы придать смысл отрицательным степеням. Разделим 123 на 125. Согласно 2-му правилу, ответ должен быть равен 12−2. Но при этом он равен и (12×12×12)/(12×12×12×12×12), что после сокращения трех множителей 12 в числителе и знаменателе даст 1/122.
5-е правило действий со степенями:
x−n = 1/xn (в частности, x−1 = 1/x).
3-е правило наводит нас на мысль о том, что же должны означать дробные степени. Как можно поступить с величиной x1/3? Например, возвести ее в куб, тогда по 3-му правилу должно получиться просто x. Значит, x1/3 есть просто кубический корень из x. (Определение «кубического корня из x»: это число, куб которого равен x). 3-е правило теперь говорит нам, какой смысл имеет всякая дробная степень; x2/3 — это кубический корень из x, возведенный в квадрат (или, что одно и то же, кубический корень из x2).
6-е правило действий со степенями:
хm/n есть корень n-й степени из хm.
Поскольку 12 — это 3×4, получаем, что 125 равно (3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4). Это можно переписать как (3×3×3×3×3)×(4×4×4×4×4). Короче говоря: 125 = 35×45. Такое верно и в общем случае:
7-е правило действий со степенями:
(x×y)n = xn×yn.
А что насчет возведения x в иррациональную степень? Что могло бы означать 12√2, или 12π, или 12e? Здесь мы снова попадаем в царство анализа. Вспомним про ту последовательность из главы 1.vii, которая сходилась к √2. Она выглядела так: 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, … Продолжая эту последовательность достаточно далеко, можно подобраться к √2 сколь угодно близко. А из 6-го правила, которое говорит о значении всякой дробной степени, понятно, что же представляет собой число 12, возведенное в каждую из этих дробных степеней. Разумеется, число 121 равно просто 12, а 123/2 — это квадратный корень из 12 в кубе; 41,569219381…. Далее, 127/5 — это корень пятой степени из 12 в седьмой степени, что равно 32,423040924…. Таким же образом, 1217/12 равно 33,794038815…, 1241/29 равно 33,553590738…, 1299/70 равно 33,594688567… и т.д. Как мы видим, эти дробные степени числа 12 сходятся к некоторому числу — на самом деле к числу 33,588665890…. Поскольку сами дроби при этом сходятся к √2, очень похоже на правду, что 12√2 = 33,588665890….
Итак, задавшись положительным числом x, можно возводить его вообще в любую степень — положительную, отрицательную, дробную или иррациональную. При этом будут выполняться приведенные выше правила действий со степенями, поскольку мы ввели определения таким образом, чтобы именно это и гарантировать! На рисунке 5.1 показаны графики функций xa для различных чисел a в интервале от −2 до 8. Отдельно отметим нулевую степень х0, представляющую собой горизонтальную прямую на высоте 1 над осью x — то, что математики называют «постоянной функцией» (а медсестры в реанимации называют «остановкой»). Для любого аргумента x значение этой функции равно 1. Стоит еще обратить внимание, как быстро возрастают целочисленные степени x2, x3, x8, а также — что имеет более прямую связь с главной темой этой книги — как медленно возрастают дробные положительные степени, такие как x0,5.
