И еще одна благодарность. Я придерживаюсь того суеверия, что всякая книга, выходящая за рамки ремесла, — другими словами, всякая книга, написанная с тщанием и любовью, — имеет своего духа-хранителя. Этим я просто хочу сказать, что за всякой книгой стоит определенный конкретный человек, образ которого не покидает мысли автора во время работы и личность которого добавляет красок его страницам. (В художественной литературе, боюсь, таким человеком слишком часто оказывается сам автор.)
Дух-хранитель этой книги, чей взгляд через плечо я, казалось, временами ловил, пока писал, чье легкое покашливание в соседней комнате я иногда слышал в своем воображении и кто неслышно действует за сценой и в математических, и в исторических главах, — это Бернхард Риман. Чтение того, что написано им, и того, что написано о нем, вызвало во мне смешанные чувства по отношению к этому человеку: глубокое сочувствие к его неприспособленности к жизни в обществе, подорванному здоровью, выпавшим на его долю тяжелым утратам и хронической бедности смешано с благоговением перед невероятной мощью его ума и силой его сердца.
Книгу следует посвятить кому-то из живущих, чтобы посвящение могло доставить удовольствие. Я посвятил эту книгу своей жене, которая совершенно точно знает, насколько это посвящение искренне. Но в определенном смысле, и это нельзя обойти молчанием в предисловии, эта книга принадлежит Бернхарду Риману, который за свою короткую жизнь, омраченную многими горестями, оставил людям столь много имеющего непреходящую ценность — включая и задачу, которая продолжает манить их через полторы сотни лет после того, как он с типичной для себя застенчивостью упомянул о своих «недолгих бесплодных попытках» ее решить.
Джон Дербишир
Хантингтон, Лонг-Айленд
Июнь 2002 г.
Часть первая
Теорема о распределении простых чисел
Глава 1. Карточный фокус
I.
Как и многие другие представления, это начинается с колоды карт.
Возьмем обычную колоду из 52 карт; положим ее на стол, подровняв со всех сторон. А теперь сдвинем самую верхнюю карту колоды, не пошевелив при этом ни одну из остальных карт. Насколько можно сдвинуть верхнюю карту, чтобы она еще не упала?
Ответ понятен: на половину длины карты, что мы и видим на рисунке 1.1. Если подвинуть ее так, чтобы на весу оказалось более половины карты, она упадет. Точка опрокидывания находится в центре тяжести карты, т.е. на середине ее длины.
Теперь сделаем кое-что еще. Пусть верхняя карта так и лежит, сдвинутая на половину своей длины — т.е. с максимальным нависанием, — а мы начнем осторожно сдвигать следующую карту. Насколько в сумме могут нависать две верхние карты?
Фокус состоит в том, что эти две карты надо рассматривать как единое целое. Где у этого целого находится центр тяжести? Ясно, что посередине общей длины — длины в полторы карты. Значит, центр тяжести расположен на расстоянии в три четверти длины карты от выступающего края верхней карты (см. рисунок 1.2). Суммарное нависание, следовательно, равно трем четвертям длины карты. Заметим, что верхняя карта по-прежнему свисает со второй на половину своей длины. Но две верхние карты мы сдвигали как единое целое.
Если теперь начать двигать третью карту и посмотреть, насколько можно увеличить нависание, окажется, что ее можно сдвинуть на одну шестую длины карты. Как и ранее, надо воспринимать три верхние карты как единое целое. Центр тяжести тогда расположен на расстоянии в одну шестую длины карты от выдвинутого края третьей карты (см. рисунок 1.3).
За край у нас выдвинута одна шестая третьей карты, одна шестая плюс одна четверть второй карты, а также одна шестая плюс одна четверть плюс одна вторая верхней карты, что в сумме дает полторы карты:
1/6 + (1/6 + 1/4) + (1/6 + 1/4 + 1/2) = 11/2.
Это половина от длины трех карт; вторая половина находится за точкой опрокидывания. На рисунке 1.4 изображено, что у нас получилось после максимально возможного сдвига третьей карты.
Полное нависание теперь составляет одну вторую (за счет верхней карты) плюс одна четверть (за счет второй карты) плюс одна шестая (за счет третьей). Всего — одиннадцать двенадцатых длины карты. Потрясающе!
Можно ли добиться нависания, превышающего длину одной карты? Да, можно. Прямо следующая карта — четвертая сверху — при осторожном сдвигании добавит к нависанию одну восьмую длины карты. Я не буду проделывать все эти арифметические выкладки — или поверьте мне, или сделайте их сами, подобно тому как мы это только что сделали для трех первых карт. Вот чему равно полное нависание с четырьмя картами: одна вторая плюс одна четверть плюс одна шестая плюс одна восьмая — все вместе одна и одна двадцать четвертая длины карты (см. рисунок 1.5).
Если продолжать действовать в том же духе и целиком использовать всю колоду, то за счет пятидесяти одной карты накопится нависание, равное
1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + 1/14 + 1/16 + … + 1/102
(самую нижнюю карту сдвигать бессмысленно). Такая сумма на самую толику меньше, чем 2,25940659073334. Таким образом, мы добились полного нависания более чем в две с четвертью длины! (Рис. 1.6.)
