Здесь не обошлось без некоторой ловкости рук, потому что у функции 1/ln t нет значения при t = 1 (из-за того что логарифм единицы равен нулю). Я обойду эту сложность, не углубляясь в нее, — просто заверю вас, что имеется некоторый способ привести все в порядок. Надо еще заметить, что при вычислении интегралов области ниже горизонтальной оси считаются отрицательными, так что по мере увеличения t область справа от 1 «тратится» на сокращение области слева от 1. Другими словами, Li(x) выражается затемненной областью на рисунке
7.4, причем отрицательный вклад в площадь, набираемый слева от t = 1, гасится положительным вкладом от площади справа от t = 1 (когда x лежит справа).
На рисунке 7.5 показан график функции Li(x). Мы видим, что она принимает отрицательные значения, когда x меньше единицы (поскольку соответствующая площадь на рисунке
7.4 дает отрицательный вклад), но по мере того, как x уходит направо от 1, положительный вклад в площадь постепенно сокращает отрицательный, так что Li(x) возвращается из отрицательной бесконечности, достигает нуля (т.е. отрицательный вклад в площадь полностью сокращается) при аргументе x = 1,4513692348828…, а после этого уже постоянно возрастает. Наклон этой функции в каждой точке равен, конечно, 1/ln x. А это, как мы видели в главе 3.ix, есть вероятность того, что целое число в окрестности числа x окажется простым.
[60]
Рисунок 7.5. Функция Li(x).
Именно поэтому данная функция так важна в теории чисел. Дело в том, что по мере того, как N делается все больше и больше, мы имеем Li(N) ~ N/ln N. Но ТРПЧ утверждает, что π(N) ~ N/ln N. Секундное размышление показывает, что знак волны транзитивен — т.е. что если P ~ Q, a Q ~ R, то должно быть и P ~ R. Так что если ТРПЧ верна — а мы знаем, что это так, она была доказана в 1896 году, — то должно быть верно и π(N) ~ Li(N).
Это не просто верно. Это, в некотором роде, еще вернее. Я хочу сказать, Li(N) дает на самом деле лучшую оценку функции π(N), чем N/ln N. Намного лучшую. Таблица 7.3 показывает, почему Li(x) играет центральную роль в нашем исследовании.
На самом деле ТРПЧ чаще всего формулируют как π(N) ~ Li(N), а не как π(N) ~ N/ln N. Поскольку знак волны транзитивен, два утверждения эквивалентны, как можно видеть из рисунка 7.6. Из работы Римана 1859 года следует и точное, хотя и не доказанное, выражение для π(N), и во главе этого выражения стоит Li(x).
ТРПЧ (улучшенный вариант)
π(N) ~ Li(N)
Отметим еще одно обстоятельство, связанное с таблицей
7.3. Для всех приведенных там значений N функция N/ln N дает заниженную оценку для π(N), а функция Li(N) — завышенную. Оставим это замечание без комментариев до тех пор, пока оно нам не понадобится.
Глава 8. Не лишено некоторого интереса
I.
До сих мы интересовались далекими предпосылками Гипотезы Римана — предысторией Теоремы о распределении простых чисел (ТРПЧ) и работы Римана 1859 года, где Гипотеза и была впервые высказана. В данной главе мы обратимся к непосредственным истокам той работы. Вообще-то здесь переплетены две истории: Бернхарда Римана и Геттингенского университета в 1850-х годах: в придачу к этому мы предпримем короткие путешествия за национальным колоритом в Россию и Нью-Джерси.
Следует держать в поле зрения целостную картину европейской интеллектуальной жизни 1830, 1840 и 1850-х годов. Разумеется, то было время огромных перемен. Колоссальные изменения, произведенные Наполеоновскими войнами, выпустили на свободу новые патриотические и реформаторские силы. Полным ходом шла промышленная революция. Подвижки в мыслях и чувствах, которые мы условно объединяем под названием «движение романтизма», проникали повсюду и уже достигли широких слоев населения. 1830-е годы, годы возрождения духа после истощения долгими войнами, были неспокойным временем, отмеченным Июльской революцией во Франции, Польским восстанием (в то время Польша принадлежала Российской империи
[61]), мечтами немцев о национальном единстве и великим Биллем о реформе в Британии.
[62] Алексис де Токвиль, посетив Соединенные Штаты, написал книгу, в которой глубоко проанализировал новые любопытные эксперименты с демократической формой правления.
[63] В течение следующего десятилетия зашевелились темные силы, причем кульминация пришлась на 1848 год, «год революций», перипетии которого, как мы видели в главе 2, на какое-то время нарушили даже сокровенное уединение Бернхарда Римана.
