Рисунок 9.11. Полная факториальная функция x!.
Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции ζ(s) для любого числа s за единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает ζ(1 − s) через ζ(s); если вы знаете, как посчитать ζ(16), то вы можете тогда вычислить ζ(−15); если вам известна ζ(4), то вы можете вычислить ζ(−3); если вам известна ζ(1,2), то вы можете выделить ζ(−0,2); если вам известна ζ(0,6), то вы можете вычислить ζ(0,4); если вам известна ζ(0,50001), то вы можете вычислить ζ(0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между ζ(1 − s) и ζ(s), потому что если s = 1/2, то 1 − s = s. Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка
5.4 и рисунков с
9.3 по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента 1/2. И тем не менее ее значения при аргументах слева от 1/2 связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.
Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: ζ(s) равна нулю всегда, когда s — отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:
−2, −4, −6 и все остальные отрицательные четные целые числа являются нулями дзета-функции.
А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого — тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.
VII.
В качестве добавления к этой главе еще чуть разовьем наш анализ, применив к выражению
(9.2) два результата из тех, что были сформулированы в главе 7. Выпишем это выражение снова:
1/(1 − x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + …
Все, что я собираюсь сделать, — это проинтегрировать обе части. Поскольку интеграл от 1/x равен ln x, я надеюсь, что не слишком злоупотреблю вашим доверием, если скажу (не останавливаясь на доказательстве), что интеграл от 1/(1 − x) равен −ln(1 − x). С правой частью равенства все еще проще. Можно просто интегрировать один член за другим, используя правила интегрирования степеней, сформулированные в таблице
7.2. Результат (впервые полученный сэром Исааком Ньютоном) имеет вид:
−ln(1 − x) = x + x2/2 + x3/3 + x4/4 + x5/5 + x6/6 + ….
Будет чуть удобнее, если обе части умножить на −1:
ln(1 − x) = −x − x2/2 − x3/3 − x4/4 − x5/5 − x6/6 − … (9.3)
Несколько странно, хотя для наших целей и несущественно, что выражение
(9.3) верно при x = −1, тогда как выражение
(9.2), с которого мы начали, при этом неверно. Действительно, при x = −1 выражение
(9.3) дает следующий результат:
ln 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + 1/7 − … (9.4)
Отметим сходство с гармоническим рядом. Гармонический ряд… простые числа… дзета-функция…. Во всей этой области господствует логарифмическая функция.
Правая часть выражения
(9.4) несколько своеобразна, хотя этого и не заметить невооруженным взглядом. Она в действительности является стандартной (из учебников) иллюстрацией того, насколько хитрой вещью являются бесконечные ряды. Этот ряд сходится к ln 2, что составляет 0,6931471805599453…, но только если складывать члены именно в этом порядке. Если складывать в другом порядке, ряд может сойтись к чему-нибудь другому — или может даже вообще не сойтись!
[76]
Рассмотрим, например, такую перестановку членов ряда: 1 − 1/2 − 1/4 + 1/3 − 1/6 − 1/8 + 1/5 − 1/10 − …. То же самое, но с расставленными скобками: (1 − 1/2) − 1/4 + (1/3 − 1/6) − 1/8 + (1/5 − 1/10) − …, т.е. 1/2(1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − …). Сумма ряда с переставленными членами равна половине сумм исходного ряда!
[77]
Ряд из выражения
(9.4) — не единственный, обладающий таким настораживающим свойством. Сходящиеся ряды разбиваются на две категории: те, у которых есть такое свойство, и те, у которых его нет. Ряды, подобные рассмотренному, сумма которых зависит от порядка суммирования, называются «условно сходящимися». Ряды, ведущие себя получше и сходящиеся к одному и тому же пределу независимо от того, как переставлены слагаемые, называются «абсолютно сходящимися». Большая часть важных в анализе рядов сходятся абсолютно. Тем не менее для нас первоочередной интерес будет представлять еще один ряд, сходящийся лишь условно, подобно ряду из выражения
(9.4). Мы встретимся с ним в главе 21.
