Например, N не является полем. Если попробовать из 7 вычесть 12, то получится результат, не лежащий в N. Аналогично обстоит дело и с Z — если поделить 12 на 7, то ответ не будет лежать в Z. Это не поля.
Но Q, R и C — поля. Если складывать, вычитать, перемножать или делить друг на друга два рациональных числа, то получится другое рациональное число. То же самое с вещественными и комплексными числами. Они дают нам три примера поля. Ясно, что каждое из этих полей содержит бесконечное число элементов.
Несложно построить и другие бесконечные поля. Рассмотрим семейство всех чисел вида а + b√2, где a и b — рациональные числа. Здесь b или равно нулю, или нет. Если b не равно нулю, то, поскольку число √2 не является рациональным, число а + b√2 также не рациональное. Следовательно, это семейство содержит все рациональные числа (при нулевом b) и тучу весьма специальных иррациональных. Такие числа образуют поле. Сложение числа а + b√2 с числом c + d√2 дает (a + c) + (b + d)√2, их вычитание дает (a − c) + (b − d)√2, результат умножения есть (ac + 2bd) + (ad + bc)√2, а деление с использованием приема, подобного тому, который применяется при делении комплексных чисел, приводит к (ac − 2bd)/(c2 − 2d2) + ((bc − ad)/(c2 − 2d2))√2. Поскольку a и b могут быть вообще любыми рациональными числами, в этом поле бесконечно много элементов.
Поля не обязательно бесконечны. Простейшее из всех полей содержит всего два элемента, 0 и 1. Таблица сложения имеет вид 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0. Таблица вычитания такова: 0 − 0 = 0, 0 − 1 = 1, 1 − 0 = 1, 1 − 1 = 0. (Можно заметить, что получающиеся результаты таковы же, как для сложения. В данном поле любой знак минус можно спокойно заменить знаком плюс!) Таблица умножения: 0×0 = 0, 0×1 = 0, 1×0 = 0, 1×1 = 1. Таблица деления: 0:1 = 0, 1:1 = 1, а деление на нуль запрещено. (Делить на нуль нельзя никогда.) Это абсолютно нормальное, а вовсе не тривиальное поле, и мы очень скоро не преминем им как следует воспользоваться. Математики называют его полем F2.
На самом деле конечное поле можно построить для любого простого числа р и даже для любой степени любого простого числа. Если p — простое число, то имеется конечное поле из p элементов, поле из p2 элементов, поле из p3 элементов и т.д. Более того, мы только что перечислили все возможные конечные поля. Их можно организовать в список: F2, F4, F8, …, F3, F9, F27, …, F5, F25, F125, …; выписав их все, мы тем самым перечислим все возможности построения конечных полей.
Ошибкой было бы считать (как это порой делают начинающие), что конечные поля представляют собой просто переформулировку арифметики циферблата, описанной в главе 6.viii. Это верно только для полей, содержащих простое число элементов. А вот арифметика других конечных полей устроена более тонко. На рисунке 17.1, например, представлена арифметика циферблата — сложение и умножение — для циферблата с четырьмя отметками (т.е. 0, 1, 2 и 3). Эта система чисел и правил интересна и полезна, но она не является полем, поскольку нельзя разделить 1 ни на 3, ни на 2. (Если бы можно было разделить 1 на 2, то уравнение 1 = 2×x имело бы решение. А у него решения нет.) Математики называют это кольцом, что не лишено основания, коль скоро речь идет о циферблате. В кольце можно складывать, вычитать и умножать, но не всегда можно делить.
| + |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
× |
0 |
1 |
2 |
3 |
| 0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
| 2 |
2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
| 3 |
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
3 |
2 |
1 |
Рисунок 17.1. Сложение и умножение на циферблате с четырьмя отметками (другими словами, сложение и умножение выполняются по обычным правилам, после чего берутся остатки по модулю 4).
Конкретное кольцо, показанное на рисунке 17.1, имеет официальное обозначение Z/4Z. Должен сознаться, что мне такое обозначение никогда не нравилось, так что на правах автора я изобрету для него свое собственное обозначение: CLOCK4.
[158]
{4} Ясно, что можно построить такое кольцо для любого натурального числа N. В моих обозначениях оно будет называться CLOCKN.
