Математическая структура — это набор абстрактных сущностей с отношениями между ними.
Рассмотрим несколько примеров. На рис. 10.7 (слева) описываются математические структуры с четырьмя сущностями, связанными между собой отношением нравится. Сущность Филипп представлена изображением с множеством внутренних свойств, таких, например, как цвет волос. Напротив, сущности математических структур совершенно абстрактны, что предполагает отсутствие у них каких бы то ни было внутренних свойств. Это значит, что какие бы символы мы ни использовали для их представления, это будут лишь метки, свойства которых не имеют отношения к делу: во избежание ошибочного приписывания свойств этих символов абстрактным сущностям, обозначением которых они являются, рассмотрим более аскетичное описание, представленное на среднем рисунке. Оно эквивалентно первому, поскольку, если установить соответствие согласно следующему словарю: Филипп = 1, Александр = 2, лыжи = 3, скейтборд = 4, нравится = R, все отношения сохранятся. Так, «Александру нравится скейтборд» превратится в «2 R 4», а такое отношение на среднем рисунке действительно есть.
Математические структуры можно описывать точно так же, как шахматные партии, лишь при помощи символов. Так, в правой части рис. 10.7 представлено третье эквивалентное описание нашей математической структуры с помощью числовой таблицы четыре на четыре. В таблице значение 1 указывает, что отношение (нравится) имеет место между элементом, соответствующим данной строке, и элементом, соответствующим данному столбцу. Скажем, тот факт, что в третьей колонке первой строки стоит 1, означает, что «Филиппу нравятся лыжи». Очевидно, что существует гораздо больше эквивалентных способов описания математической структуры. Но есть лишь одна уникальная математическая структура, которая описывается всеми этими способами. Итак, любое конкретное описание математической структуры несёт «багаж», но сама структура его не содержит. Важно не путать описание с тем, что именно описывается: даже кажущееся наиболее абстрактным описание математической структуры не является самой этой структурой. Правильнее сказать, что структуре соответствует класс всех эквивалентных её описаний. В табл. 10.2 дана сводка отношений между этими и иными ключевыми понятиями, связанными с идеей математической Вселенной.
Симметрия и другие математические свойства
Некоторые математики любят поспорить о том, что такое математика, и по этому вопросу, конечно, нет единого мнения. Однако, согласно популярному определению, математика — это «формальное изучение математических структур». Следуя этим путём, математики выявили большое число интересных математических структур — от хорошо всем знакомых, вроде куба, икосаэдра (рис. 7.2) и целых чисел, до экзотических, вроде банаховых пространств, орбиобразий и псевдоримановых многообразий.
Одна из наиболее важных задач математиков при изучении математических структур — это доказательство теорем об их свойствах. Но что за свойства может иметь математическая структура, если её сущностям и отношениям не позволено иметь никаких внутренних свойств?
Рассмотрим математическую структуру, описанную в левой части рис. 10.8. Между входящими в неё сущностями нет никаких отношений, так что нет ничего, что позволило бы отличить одну из этих сущностей от любой другой. Значит, данная математическая структура не имеет никаких свойств, кроме мощности — числа сущностей в ней. Математики называют эту математическую структуру «множеством из восьми элементов», и единственное её свойство — наличие восьми элементов. Весьма скучная структура!
Рис. 10.8. Средний рисунок описывает математическую структуру с восемью элементами (символически изображёнными в виде точек) и связями между ними (символически изображёнными в виде линий). Вы можете интерпретировать эти элементы как вершины куба, а отношения как указание, какие вершины соединяются рёбрами. Но эта интерпретация — совершенно необязательный «багаж»: в правой части представлено эквивалентное описание той же математической структуры без использования какой-либо графики или геометрии. Например, тот факт, что на пересечении пятого столбца и шестой строки стоит 1, означает наличие отношения между элементами 5 и 6. Данная математическая структура имеет много интересных свойств, например зеркальную симметрию и некоторые вращательные симметрии. А математическая структура, описываемая левым рисунком, не содержит отношений и интересных свойств, кроме своей мощности, равной 8, числу элементов, которое в неё входит.
Среднее изображение на рис. 10.8 описывает другую, более интересную математическую структуру с восемью элементами, которая включает их отношения. Одно из описаний этой структуры состоит в том, что её элементы — это вершины куба, а отношения задают, какие вершины соединены между собой рёбрами. Помните, однако, что не следует путать описание с тем, что описывается: математическая структура не имеет собственных свойств (например размера, цвета, текстуры или состава) — она содержит только восемь связанных отношениями сущностей, которые вы можете по желанию интерпретировать как вершины куба. На самом деле в правой части рис. 10.8 представлено эквивалентное определение этой математической структуры без ссылок на геометрические понятия вроде «куб», «вершина» или «ребро».
Но если сущности внутри этой структуры не имеют собственных свойств, то могут ли иметься такие свойства у самой структуры (помимо того, что в ней восемь элементов)? На самом деле, да, они есть — это симметрии. В физике нечто называют обладающим симметрией, если оно остаётся неизменным, когда вы определённым образом преобразуете его. Например, мы говорим, что ваше лицо обладает зеркальной симметрией, если оно кажется неизменным, будучи отражённым слева направо. В некотором смысле математическая структура на рис. 10.8 (в середине) обладает зеркальной симметрией: если вы поменяете местами элементы 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6, 7 и 8, то схема отношений будет выглядеть точно так же, как прежде. Она также обладает некоторыми вращательными симметриями, соответствующими повороту нарисованного куба либо на 90° вокруг оси, проходящей через центры противоположных граней, либо на 120° вокруг оси, проходящей через противоположные вершины, либо на 180° вокруг оси, проходящей через середины противоположных рёбер. Хотя интуитивно мы считаем, что симметрии связаны с геометрией, те же симметрии можно обнаружить, возясь с таблицей в правой части рис. 10.8: если определённым образом перенумеровать восемь элементов, а затем пересортировать таблицу в порядке возрастания номеров строк и столбцов, получится точно такая же таблица, какая была в начале.
Знаменитый больной вопрос философии — проблема бесконечного регресса. Например, если мы говорим, что свойства алмаза объясняются свойствами и расположением в нём атомов углерода, свойства атомов углерода — свойствами и расположением в них протонов, нейтронов и электронов, а свойства протонов — свойствами и расположением в них кварков, кажется, что мы обречены вечно пытаться объяснять свойства этих составных частей. Гипотеза математической Вселенной предлагает радикальное решение этой проблемы: на нижнем уровне реальность — это математическая структура, так что её части вообще не имеют внутренних свойств! Иными словами, из гипотезы математической Вселенной вытекает, что мы живём в реляционной реальности, то есть свойства окружающего мира обусловлены не свойствами первичных «строительных блоков», из которых он сложён, а отношениями между «блоками».
[68] Внешняя физическая реальность является, таким образом, чем-то большим, нежели суммой её частей. Она может иметь много интересных свойств, хотя её части вообще не имеют собственных свойств.
