Табл. 10.2. Ключевые понятия, связанные с идеей математической Вселенной.
Математические структуры на рис. 10.7 и 10.8 относятся к семейству математических структур, называемых графами: это абстрактные элементы, часть которых попарно связана. Можно применить другие графы для описания математических структур, соответствующих додекаэдру и прочим платоновым телам на рис. 7.2. Ещё один пример графа — сеть «френдов» в «Фейсбуке». Здесь элементы соответствуют всем пользователям «Фейсбука», и два пользователя связаны, если между ними установлено отношение дружбы. Графы представляют собой лишь одно из множества семейств математических структур. Мы подробнее обсудим математические структуры в гл. 12, а пока разберём ещё несколько примеров.
Есть много математических структур, соответствующих различным типам чисел. Так, натуральные числа (1, 2, 3, …) образуют математическую структуру. Здесь элементами служат числа, и существует много типов отношений. Некоторые отношения (скажем, равно, больше чем, делится на) могут связывать пары чисел («15 делится на 5»), другие устанавливаются между тремя числами («17 является суммой 12 и 5») и т. д. Постепенно математики открывали более широкие классы чисел, которые образуют собственные математические структуры: целые числа (включающие отрицательные числа), рациональные числа (включающие дроби), вещественные числа (включающие квадратный корень из 2), комплексные числа (включающие квадратный корень из –1) и трансфинитные числа (включающие бесконечные числа). Когда, закрыв глаза, я думаю о числе 5, оно кажется мне жёлтым. Однако во всех этих математических структурах числа сами по себе не имеют свойств, и все их свойства сводятся к их отношениям с иными числами: 5 имеет свойство быть суммой 4 и 1, например, но оно не жёлтое и ни из чего не сделано.
Ещё один обширный класс математических структур соответствует различным пространствам. Например, трёхмерное евклидово пространство, которое мы изучаем в школе, — это математическая структура. Здесь элементами выступают точки трёхмерного пространства и вещественные числа, которые интерпретируются как расстояния и углы. Существует множество других типов отношений. Например, три точки могут удовлетворять тому отношению, что они лежат на одной прямой. Существуют различные математические структуры, соответствующие евклидову пространству с четырьмя и любым другим числом измерений. Математики также открыли множество других типов пространств более общего вида, которые образуют собственные математические структуры, вроде пространства Минковского, римановых, гильбертовых, банаховых и хаусдорфовых пространств. Многие думают, что наше трёхмерное физическое пространство является евклидовым. Однако в гл. 2 мы узнали, Эйнштейн положил этому конец. Сначала его специальная теория относительности показала, что мы живём в пространстве Минковского (включающем время в качестве четвёртого измерения), а затем общая теория относительности заменила пространство Минковского римановым пространством, то есть способным искривляться. Затем появилась квантовая механика (гл. 7), утверждающая, что на самом деле мы обитаем в гильбертовом пространстве. И вновь точки этих пространств ни из чего не сделаны и не имеют цвета, текстуры или каких-либо иных собственных свойств.
Хотя наша коллекция известных математических структур обширна и необычна и ещё больше их пока не открыто, каждую математическую структуру можно проанализировать на предмет симметричности, и у многих обнаруживаются интересные симметрии. Крайне любопытно, что одним из самых важных открытий в физике стало наличие встроенных симметрий и у нашей физической реальности. Так, законы физики обладают вращательной симметрией, то есть во Вселенной нет выделенного направления, которое можно было бы назвать «верхом». Они также, по-видимому, имеют трансляционную симметрию (относительно сдвига), то есть нет особого места, которое можно было бы назвать центром пространства. Многие из упомянутых выше пространств обладают красивыми симметриями, порой совпадающими с наблюдаемыми симметриями физического мира. Например, евклидово пространство обладает как вращательной (нельзя обнаружить различия, если пространство поворачивается), так и трансляционной симметрией (нельзя обнаружить отличия, если пространство сдвигается). У четырёхмерного пространства Минковского ещё больше симметрий, и нельзя обнаружить различий, если выполнен обобщённый поворот между пространственным и временным измерениями (Эйнштейн показал, что именно поэтому кажется, что время замедляется, когда вы движетесь с околосветовой скоростью). В XX веке было открыто множество более тонких симметрий природы. Они лежат в основе эйнштейновских теорий относительности, квантовой механики и Стандартной модели элементарных частиц.
Обратите внимание: свойства симметрии, столь важные для физики, появляются именно благодаря отсутствию собственных свойств у «строительных блоков» реальности, то есть из самой сути того, что значит для неё быть математической структурой. Если выкрасить часть бесцветной сферы в жёлтый, её вращательная симметрия будет нарушена. Подобным образом, если бы точки трёхмерного пространства обладали свойствами, которые делали бы одни точки внутренне отличными от других, пространство утратило бы свою вращательную и трансляционную симметрию. «Меньше — это больше» в том смысле, что чем меньше свойств имеют точки, тем больше симметрий у пространства.
Если гипотеза математической Вселенной верна, то наша Вселенная является математической структурой, и из её описания бесконечно разумный математик должен иметь возможность вывести все физические теории. Как именно он это сделает? Мы не знаем. Но я уверен, что первым его шагом стало бы определение симметрий этой математической структуры.
В начале этой главы вы узнали мрачное предсказание: мои публикации относительно связи между математикой и физикой безумны и похоронят мою карьеру. Пока я изложил лишь часть обоснований того, что внешняя физическая реальность является математической структурой. Это действительно звучит безумно, однако мы лишь разминаемся. Когда мы займёмся следствиями и проверяемыми предсказаниями, вытекающими из гипотезы математической Вселенной, всё станет ещё безумнее! Кроме прочего, мы придём к неизбежному выводу о новом мультиверсе, столь огромном, что в сравнении с ним поблёкнет даже мультиверс III уровня в квантовой механике. Но прежде предстоит ответить на острый вопрос. Наш физический мир меняется во времени, тогда как математические структуры неизменны — они просто существуют. Так как же наш мир может быть математической структурой?
Резюме
• С древних времён людей мучила загадка: почему наш физический мир можно успешно описать с помощью математики.
• Физики продолжают открывать в природе формы, схемы и закономерности, которые удаётся описывать математическими уравнениями.
• Ткань нашей физической реальности содержит десятки безразмерных чисел, исходя из которых, в принципе, можно вычислить все измеримые постоянные.
