Народная мудрость, касающаяся правил написания научно-популярной литературы, гласит: каждая формула уменьшает продажи книги вдвое. Если так, то это очень плохая новость, потому что понять основные мотивы в данной книге никак не получится, не взглянув на несколько уравнений. Следующая глава, например, посвящена открытиям, сделанным математиками эпохи Возрождения, — открытиям формул для решения любого кубического уравнения или уравнения четвертой степени. Я могу обойтись без формулы для решения уравнений четвертой степени, но вот взглянуть на формулу для кубического уравнения нам так или иначе придется. В противном случае мы вынуждены будем ограничиться словами типа «умножаем некоторые числа на некоторые другие числа и к этому прибавляем некоторые третьи числа, а потом извлекаем квадратный корень, затем прибавляем другое число и из того, что получилось, извлекаем кубический корень; далее делаем то же самое снова, но со слегка другими числами; в конце концов складываем два результата. А, забыл! — иногда еще надо будет делить».
Некоторые авторы бросили вызов этой народной мудрости и даже написали книги про уравнения. Видимо, они следуют известному совету из области шоу-бизнеса: «Если у вас деревянная нога, помашите ею». Так вот, в некотором смысле эта книга — об уравнениях; но подобно тому, как можно написать книгу о горах, не требуя при этом, чтобы читатели взбирались на гору, также можно написать книгу об уравнениях, не требуя, чтобы читатели их решали. Тем не менее читатели книги о горах вряд ли поймут ее, если никогда не видели гор, так что для нас и в самом деле будет полезным взглянуть на специально отобранные уравнения.
Основное соглашение, которое я предлагаю заключить, тенденциозно перекошено в пользу читателя: ключевым словом будет «показать». Я хочу, чтобы вы посмотрели на уравнения. Ничего делать с ними не требуется. По мере необходимости я буду разбирать уравнения на части и объяснять, какие их свойства существенны для нашего рассказа. Я никогда не буду просить вас решить уравнение или произвести с ним какие-либо вычисления. И я всерьез постараюсь избегать их появления — настолько, насколько это возможно.
На самом деле после знакомства с ними уравнения оказываются довольно дружелюбными созданиями — ясными, четкими, иногда даже прекрасными. Тайная истина об уравнениях состоит в том, что они представляют собой простой, ясный язык для описания целого ряда «рецептов» по вычислению разных вещей. Когда я буду в состоянии выразить такой рецепт словами или просто дать вам общее представление о том, что происходит, не вдаваясь в несущественные детали, я так и буду делать. В редких случаях, тем не менее, использование слов становится столь громоздким, что нам придется прибегнуть к символам и специальным обозначениям.
В этой книге имеются три важных типа обозначений, и два из них я упомяну прямо сейчас. Одно — это наш дружище x, то есть «неизвестное». Этот символ обозначает число, которое мы еще не знаем, но значение которого отчаянно пытаемся найти.
Обозначения второго типа — это числа, набранные более мелким шрифтом и слегка приподнятые над строкой — такие как 2, 3 или же 4. Они говорят, что некоторое другое число надо умножить само на себя указанное число раз. Так, 53 означает 5×5×5, что равно 125, а x2 означает x×x, где x — наш символ для неизвестного числа. Читаются они как «квадрат», «куб», «четвертая степень» и так далее, а все вместе они называются степенями соответствующего числа.
Не имею ни малейшего понятия почему. Просто надо же их как-то называть.
Или вавилонский метод решения квадратных уравнений достался древним грекам по наследству, или же они его открыли заново. Герон, живший в Александрии где-то между 100 годом до и 100 годом от Р.Х., обсуждал типичные задачи «вавилонского» стиля, используя греческую терминологию. Около 100 года Никомах — вероятно, аравитянин из Иудеи — написал книгу под названием Introductio Arithmetica, в которой он отошел от греческой традиции представлять числа геометрическими величинами типа отрезков и площадей. Для Никомаха числа были самостоятельными величинами, а не длинами отрезков. Никомах был пифагорейцем, и это видно из его работы: он имеет дело только с целыми числами и их отношениями и не использует символьных обозначений. Его книга стала стандартным учебником по арифметике на последующее тысячелетие.
Символьные обозначения вошли в алгебру в работах греческого математика Диофанта примерно около 500 года
[9]. Единственное, что мы знаем о Диофанте, — это возраст, в котором он умер, да и эти сведения дошли до нас способом, вызывающим сомнения в аутентичности. Греческий сборник задач по алгебре содержит одну следующего содержания: «Диофант провел шестую часть своей жизни мальчиком. Борода его стала расти спустя еще одну двенадцатую часть. Он женился одну седьмую спустя, а его сын родился через пять лет. Сын дожил до половины возраста своего отца, а отец умер через четыре года после сына. Сколько лет было Диофанту, когда он умер?»
Используя методы, подразумевавшиеся этим древним алгебраистом, или же способы более современные, можно вычислить, что ему должно было быть 84 года. Неплохой возраст, если, конечно, задача основана на реальных фактах, что, впрочем, не очевидно.
Это все, что мы знаем о его жизни. Но из позднейших списков и ссылок на них в других документах мы знаем довольно много о его книгах. Он написал одну книгу о многоугольных числах, и часть ее сохранилась. Она организована в эвклидовом стиле, теоремы доказываются на основе логических аргументов, и в целом математическое значение книги невелико. Намного важнее тринадцать книг написанной им Arithmetica. Шесть из них сохранились до наших дней благодаря сделанной в тринадцатом столетии греческой копии с более раннего экземпляра. Еще четыре могли всплыть благодаря рукописи, найденной в Иране, но не все исследователи сходятся в том, что она восходит к Диофанту.
Arithmetica представлена как ряд задач. В предисловии Диофант сообщает, что написал ее в качестве задачника для своих учеников. Он использовал специальный символ для неизвестного, а также отдельные символы для его квадрата и куба; кажется, что это сокращения слов dynamis (мощь, сила) и kybos (куб). Обозначения структурированы не очень хорошо. Сложение у Диофанта записывается просто как размещение символов друг за другом (мы теперь делаем так для умножения), но он использует специальный символ для вычитания. Есть и символ для равенства, хотя он и мог быть введен позднейшим переписчиком.
В основном Arithmetica посвящена решению уравнений. В первой из сохранившихся книг обсуждаются линейные уравнения; в остальных пяти рассматриваются различные виды квадратных уравнений, часто для нескольких неизвестных, а также некоторые специальные кубические уравнения. Характерная особенность состоит в том, что ответы всегда являются целыми или рациональными числами. Сегодня мы называем уравнение диофантовым, если его решения ограничены целыми или рациональными числами. Вот типичный пример из Arithmetica: «Найти такие три числа, что их сумма, а также сумма любых двух из них является полным квадратом». Попробуйте решить — это вовсе не просто. Ответ Диофанта: 41, 80 и 320. Сумма всех трех равна 441 = 212. Попарные суммы равны 41 + 80 = 121 = 112, 41 + 320 = 361 = 192 и 80 + 320 = 400 = 202. Неплохо придумано.
