Данное Омаром Хайямом решение кубического уравнения.
Подробности, как всегда, не так важны, как общий стиль. Выполняем ряд эвклидовых построений циркулем и линейкой, потом прибегаем к помощи гиперболы, потом еще немного эвклидовых построений — и готово.
Омар дает аналогичные конструкции для решения каждого из своих четырнадцати случаев и доказывает, что решения верны. В его анализе есть несколько дыр: при некоторых значениях коэффициентов a, b и c требуемые в его построении точки не существуют. В приведенном выше построении, например, гипербола может вообще не пересекать полуокружность. Но если отбросить эти придирки, он выполнил впечатляющую и очень систематическую работу.
Некоторые из образов в поэзии Омара являются математическими и, как представляется, содержат аллюзии на его собственные работы, в тоне возражений самому себе, который проходит через все его творчество:
Умом ощупал я все мирозданья звенья,
Постиг высокие людской души паренья,
И, несмотря на то, уверенно скажу:
Нет состояния блаженней опьяненья.
Одно особенно впечатляющее четверостишие звучит так:
Кто мы? Куклы на нитках, а кукольщик наш — небосвод.
Он в большом балагане своем представленье ведет.
Он сейчас на ковре бытия нас попрыгать заставит,
А потом в свой сундук одного за другим уберет.
Это напоминает знаменитую платоновскую аллегорию теней на стене пещеры и подходит равным образом для описания и символьных вычислений в алгебре, и человеческой натуры. Омар был талантливым летописцем и того и другого.
Глава 4
Ученый игрок
«Клянусь святым Евангелием Господа нашего и как истинный человек чести не только никогда не публиковать ваши открытия, если вы мне доверите их, но да будет моя вера истинного христианина вам порукой, что я зашифрую их так, чтобы после моей смерти никто не смог их понять». Этот торжественный обет был, как говорят, дан в 1539 году.
Италия эпохи Возрождения была колыбелью нового, и математика не составляла исключения. В иконоборческом духе того времени математики Ренессанса задались целью преодолеть ограничения древней математики. Один из них разрешил загадку кубического уравнения и теперь обвинял другого в воровстве своего секрета.
Гневающегося математика звали Никколо Фонтана по прозвищу Тарталья — Заика. В воровстве интеллектуальной собственности обвинялся математик, врач, неисправимый плут и закоренелый азартный игрок по имени Джироламо Кардано, также известный как Жером Кардан. Около 1520 года Джироламо, как истинный блудный сын, успешно растратил наследство, оставленное ему отцом. Разорившись, он обратился к азартным играм как к источнику дохода, найдя эффективное примененное своих математических способностей для оценки шансов на выигрыш. Он водился с сомнительной компанией; как-то раз, заподозрив другого игрока в нечестной игре, он полоснул его ножом по лицу.
То были суровые времена, и Джироламо был суровым человеком. А кроме того — на редкость оригинальным мыслителем и автором одного из наиболее знаменитых и влиятельных текстов по алгебре во всей истории.
О Джироламо нам известно много, потому что в 1575 году он сам рассказал нам о себе в «Книге моей жизни». Начинается она так:
Эту Книгу Моей Жизни я намереваюсь написать, следуя примеру Антонина Философа
[12], прославленного как мудрейший и достойнейший из людей, хорошо понимая, что ни одно деяние смертных не совершенно, а еще менее того — свободно от злословия; однако сознавая при этом и то, что из всего, что человеку дано достичь, ничто другое не доставляет больше радости и не ценится сильнее, чем познание истины.
Ни единого слова, спешу заверить, не было добавлено в угоду тщеславию, и ни единого для пустого приукрашивания; вместо того, насколько возможно, здесь собрано только пережитое, события, о которых мои ученики… были осведомлены или в коих они принимали участие. Эти краткие эпизоды моей истории в свою очередь записаны были мною в повествовательной форме, дабы стать частью этой книги.
Как и многие математики того времени, Джироламо занимался астрологией, так что он отмечает астрологические обстоятельства, сопутствовавшие его рождению:
Хотя, как я слышал, напрасно пытались применить различные абортивные средства, я нормально родился в 24-й день сентября года 1500, когда первый час ночи истек уже более чем наполовину, но менее чем на две трети… Марс угрожал обоим главным светилам из-за неблагоприятного их расположения и потому, что он был в четвертном аспекте с Луною…
Я легко мог родиться уродом, если бы не тот факт, что положение предыдущего соединения приходилось на 29° в Деве, где господствует Меркурий. И так как его положение не совпадало ни с местом Луны, ни с местом асцендента и он не находился в аспекте с предпоследним делением Девы, я непременно должен был бы родиться уродом, и даже легко могло случиться, что я выйду из утробы разорванным, чего едва и не произошло.
Так был я рожден, или, скорее, исторгнут мощными силами из чрева матери; я был почти мертв. Волосы мои были темны и завиты. Меня вернули к жизни ванной из теплого вина, которая могла бы оказаться гибельной для любого другого ребенка. Моя мать провела в тяготах три полных дня, и однако же я выжил
[13].
Одна глава в «Книге моей жизни» перечисляет написанные Джироламо книги, и первой в списке идет «Великое искусство»
[14] — один из трех упоминаемых им «трактатов по математике». Он также писал об астрономии, физике, вопросах морали, драгоценных камнях, воде, медицине, предсказаниях и теологии.
Однако для нашего рассказа важно только «Великое искусство». Подзаголовок этой книги — «Правила алгебры» — объясняет почему. В этой книге Джироламо не только собрал методы решения квадратных уравнений, известные вавилонянам, но и открыл новые решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени. В отличие от решений Хайяма, которые опирались на геометрию конических сечений, решения в «Великом искусстве» были чисто алгебраическими.
