Я уже упоминал о двух типах математических обозначений, которые оба видны в таких выражениях, как x3 для куба неизвестного. Обозначение первого типа состоит в использовании букв (в нашем случае — x) для чисел — или неизвестных, или известных, но произвольных. Обозначение второго типа — это использование приподнятых над строкой чисел для указания степени, так что верхняя 3 в данном случае обозначает куб числа x, то есть x×x×x. Теперь мы подошли к обозначениям третьего типа — последним из тех, что нам понадобятся.
Обозначение третьего типа очень милое и выглядит так: √. Этот символ означает квадратный корень. Например, √9 — квадратный корень из девяти — обозначает число, которое, будучи умножено на само себя, дает 9. Поскольку 3×3 = 9, мы видим, что √9 = 3. Однако не всегда все обстоит так просто. Наиболее печально известный квадратный корень, который, согласно не слишком правдоподобной легенде, оказался причиной того, что математика, привлекшего к нему внимание, — Гиппаса из Метапонта — выбросили с корабля за борт, — это квадратный корень из двух: √2. Его точное выражение в виде десятичной дроби требует неограниченного продолжения. Начинается оно так:
но не может на этом прекратиться, поскольку квадрат приведенного числа на самом деле равен
1,99999999999999999999522356663907438144,
что, очевидно, есть не вполне то же самое, что 2.
На этот раз известно, откуда взялось такое обозначение. Это искаженная буква «r», обозначающая «radix» — латинское слово «корень». Математики понимают его таким образом и читают выражение √2 как «корень из двух».
Кубические корни, корни четвертой, пятой и так далее степеней обозначаются помещением маленького приподнятого числа перед знаком «корень» — таким образом: 3√, 4√, 5√.
Кубический корень из данного числа — это такое число, куб которого дает исходное, и аналогично для других корней. Таким образом, кубический корень из 8 есть 2, поскольку 23 = 8. Кубический же корень из 2 можно выразить в виде десятичной дроби только приближенно. Он начинается таким образом:
и продолжается, если вы запасетесь достаточным терпением, бесконечно.
Именно это число появляется в античной задаче об удвоении куба.
Примерно к 400 г. греческая математика утратила свое место на переднем крае этой науки.
Место действия переместилось на Восток — в Аравию, Индию и Китай. Европа погрузилась в «темные века», и хотя они были не такими уж темными, какими их нередко изображают, но все же темными в достаточной мере. Распространение христианства возымело тот плачевный побочный эффект, что знание и ученость сконцентрировались в церквях и монастырях. Многие монахи переписывали работы великих математиков, таких как Эвклид, но лишь очень немногие из них понимали, что они переписывают. Древние греки были в состоянии с двух сторон прорыть туннель через гору так, чтобы обеспечить встречу посередине; способ же, которым ранние англосаксы проводили землемерные работы, состоял в том, чтобы разложить в поле план в масштабе 1:1. Даже понятие изображения, сделанного в определенном масштабе, было утеряно. Если бы англосаксы пожелали создать точное изображение Англии, им пришлось бы сделать его размером с Англию. Их карты обычного размера были крайне неточными.
К концу пятнадцатого столетия фокус математической активности снова сдвинулся в сторону Европы. На Среднем и Дальнем Востоке подошел к концу заряд креативности, а Европа включила второе дыхание, освобождаясь от объятий Римской церкви и ее страха перед всем новым. По иронии судьбы новым центром интеллектуальной активности становится Италия — по мере того как Рим ослаблял хватку в своем собственном тылу.
Это тектоническое изменение в европейской науке и математике началось с публикации в 1202 году книги под названием Liber Abbaci, написанной Леонардо Пизанским, который много позднее получил прозвище Фибоначчи, сына Боначчио, под которым теперь и известен, несмотря на то что имя это придумали в девятнадцатом столетии. Отец Леонардо — Гильельмо — служил на таможне в Буджии (ныне в Алжире) и в своей работе неминуемо сталкивался с людьми самых разных культур. Он обучил своего сына новомодным знакам для чисел, изобретенным индусами и арабами, — предшественникам наших десятичных обозначений от 0 до 9. Леонардо позднее писал, что «мне так нравилось обучение, что я продолжал изучать математику во время поездок по работе в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс и получал особое удовольствие от дебатов с учеными из тех мест». На первый взгляд заглавие книги Леонардо говорит о том, что это книга — об абаке, т.е. механическом вычислительном приспособлении, состоящем из бусинок, скользящих по проволочкам, или же из галечных камешков, передвигаемых в песчаном желобе. Но как латинское слово calculus, относящееся к этой гальке, позднее приобрело другое, более техническое значение
[15], так и слово abbaco — рамка для счета — стало обозначать искусство вычисления. Liber Abbaci была первым арифметическим текстом, в котором индоарабские символика и методы были принесены в Европу. Значительная часть книги отведена новым применениям арифметики к практическим предметам, подобным обмену валют.
Одна задача — об идеализированной модели роста популяции кроликов — привела к замечательной числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и так далее, где каждое следующее число, начиная с 2, равно сумме двух предыдущих. Эта «последовательность Фибоначчи» более всего прославила Леонардо — не применительно к размножению кроликов, где следствия из нее нулевые, а за то, что она представляет собой замечательный пример математической закономерности и играет ключевую роль в теории иррациональных чисел. Леонардо и представить себе не мог, что этот маленький jeu d'esprit
[16] затмит в глазах потомков все остальное, что он сделал в своей жизни.
Леонардо написал еще несколько книг, и его Practica Qeometriae, появившаяся в 1220 году, содержала значительную часть «Начал» Эвклида, а также кое-что из греческой тригонометрии.
В Книге X «Начал» Эвклида обсуждаются иррациональные числа, построенные как вложенные друг в друга квадратные корни, типа
. Леонардо доказал, что эти иррациональные числа не подходят для решения кубических уравнений. Отсюда не следует, что корни кубического уравнения нельзя построить при помощи циркуля и линейки, поскольку другие комбинации квадратных корней могут в принципе приводить к решению. Но это был намек на то, что, если пользоваться лишь предлагаемыми Эвклидом инструментами, кубическое уравнение может оказаться неразрешимым.
