Однако, как ранее заметил и должным образом оценил Лагранж, определенные выражения от корней могут оказаться симметричными по отношению к некоторым, но не ко всем перестановкам. Эти «частично симметричные» выражения тесно связаны со всякой формулой для решения уравнения. Это свойство перестановок было известно коллегам Руффини. Гораздо менее известным было то, как систематически использовал Руффини другую идею Лагранжа — что можно «перемножить» две перестановки таким образом, что получится новая перестановка; для этого две данные перестановки надо выполнить одну за другой.
Рассмотрим три символа a, b и c. На них имеется шесть перестановок: abc, acb, bac, bca, cab и cba. Возьмем одну из них, скажем, cba. На первый взгляд это просто упорядоченный список из трех символов. Однако его можно также воспринимать как правило переупорядочения исходного списка abc. В данном случае правило выражается как «обращение порядка». И это правило можно применять не только к данному, но и вообще к любому списку. Применив его, скажем, к bca, получим acb. Так что можно придать смысл умножению cba×bca = acb.
Эту идею, занимающую центральное место в нашем рассказе, можно, наверное, выразить яснее, если нарисовать некоторые диаграммы. Приведем две диаграммы для перестановок, которые переупорядочивают abc в cba и в bca, как показано на рисунке.
Две перестановки символов a, b, c.
Можно скомбинировать два переупорядочения в одно, разместив эти картинки одну над другой. Существуют два способа это сделать, показанные на рисунке.
Умножение перестановок. Результат зависит от того, какая перестановка берется первой.
Теперь результат «умножения» двух перестановок виден просто из нижней строки, которая в данном случае (левый рисунок!) есть acb. Приняв это определение «умножения» (которое не совпадает с обычным правилом умножения чисел), можно придать смысл утверждению cba×bca = acb. Соглашение состоит в том, что первая перестановка в произведении располагается в нашей двухэтажной конструкции снизу. Это существенно, поскольку если поменять два этажа местами, то получится другой ответ. Правая картинка показывает, что, когда перестановки перемножаются в противоположном порядке, результат есть bca×cba = bac.
Суть доказательства невозможности, которое предложил Руффини, состояла в выработке условий, которым должно удовлетворять всякое уравнение пятой степени, корни которого можно выразить в радикалах. Если общее уравнение пятой степени не удовлетворяет этим условиям, то, значит, у него нет корней такого типа, и, следовательно, его нельзя решить никаким естественным обобщением методов, применимых к кубике и квартике.
Следуя Лагранжу, Руффини плотно занялся симметричными функциями корней и их связью с перестановками. Уравнение пятой степени имеет пять корней, а на пяти символах имеется 120 перестановок. Руффини осознал, что эта система перестановок должна обладать некоторыми структурными свойствами, наследуемыми из всякой гипотетической формулы для решений квинтики. Если эти свойства отсутствуют, то такой формулы быть не может. Это несколько напоминает выслеживание тигра в джунглях, растущих в густой грязи. Если тигр там действительно есть, он должен оставить ясные следы. Нет следов — нет тигра.
Используя математические закономерности этого нового вида умножения, Руффини смог доказать — по крайней мере к своему собственному удовлетворению, — что структура умножения на 120 перестановках не согласуется с симметричными функциями, которые должны существовать, если уравнение можно решить в радикалах. И он реально добился чего-то важного. До того как Руффини начал исследовать уравнения пятой степени, почти каждый математик в мире был уверен, что это уравнение можно решить — единственный вопрос состоял в том, как именно. Исключение составлял лишь Гаусс, который как-то обронил намек, что, по его мнению, решения не существует, — но он также заметил, что это не очень интересный вопрос (один из тех редких случаев, когда интуиция его подвела).
После Руффини, как кажется, возникло общее ощущение, что уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах. Лишь немногие полагали, что Руффини в самом деле это доказал, однако его работа определенно заставила многих усомниться в том, что дело может решиться в радикалах. Эта смена перспективы возымела и нежелательный побочный эффект: математики стали намного меньше интересоваться всей данной темой.
По злой иронии судьбы позднее оказалось, что работа Руффини содержала серьезный пробел, но в то время никто его не заметил. Скептицизм современников оказался в некотором роде оправданным. Но реально серьезным шагом вперед был сам метод: Руффини нашел правильную стратегию, он просто использовал не совсем правильную тактику. Данный предмет нуждался в стратеге, который был бы способен скрупулезно следить за мельчайшими тактическими моментами. И такой человек нашелся.
После многих лет усердного и смиренного служения Господу нашему в качестве пастора в одной из беднейших и наиболее удаленных областей в горах Норвегии Ханс Матиас Абель в 1784 году дождался вознаграждения. Он получил назначение в приход Йерстад, вблизи южного побережья Норвегии, недалеко от Осло-фьорда. Йерстад не был в полном смысле слова богатым приходом, но он был намного богаче тех мест, где Абель проповедовал раньше. Финансовое состояние его семьи разительно изменилось.
В духовном плане задача пастора Абеля оставалась той же: присматривать за паствой и прилагать все усилия, чтобы его подопечные были счастливы и добродетельны. Сам он происходил из обеспеченной семьи. Его прадед-датчанин был купцом, торговавшим весьма прибыльно — он осуществлял поставки для норвежской армии. Отец пастора, также купец, был альдерманом в городе Берген. Ханс был натурой гордой, но скромной, не слишком умным, но и определенно не дураком и был готов говорить начистоту, чего бы это ему ни стоило.
Чтобы помочь неимущим из своего прихода, он выращивал у себя в огороде новые виды растений: лен, из которого делали полотно, а также новый тип корнеплодов — земляные яблоки, иначе известные как картофель. Он писал стихи, не жалел времени на сбор сведений об истории края и жил в полном согласии со своей женой Элизабет. Дом его был известен тем, что там всегда хорошо кормили, а алкоголя не подавали никогда. Пьянство было одной из главных социальных проблем в Норвегии, и пастор твердо намеревался подавать своей пастве пример — впрочем, один раз он явился в церковь пьяным в стельку, дабы показать своим прихожанам, в какое унизительное состояние впадает пьяный человек. У него было двое детей — необычно мало для того времени: дочь Маргарета и сын Серен.
