Ключевую роль здесь играет тригонометрия — наука о количественных мерах углов. Предположим, что мы начинаем с шестиугольника, вписанного в окружность радиуса 1. Там имеются углы 60°, и если мы сможем разбить один из них на три равные части, мы сможем, тем самым построить отрезок, выделенный жирным на рисунке.
Трисекция угла 60° эквивалентна построению отрезка, длина которого обозначена буквой x.
Пусть его длина равна x. Тригонометрия говорит нам, что x удовлетворяет уравнению 8x3 − 6x − 1 = 0. Как и в задаче об удвоении куба, это кубическое уравнение, и оно также представляет собой минимальный многочлен, которому удовлетворяет x. Но если бы отрезок длины x можно было построить, то степень его минимального многочлена была бы степенью числа 2. Мы пришли к тому же противоречию и к тому же выводу: данное построение невозможно.
Способ, которым я представил эти доказательства, скрывает более глубокую структуру. С более абстрактной точки зрения решения этих двух задач Античности Ванцелем сводятся к симметрийным аргументам: группы Галуа уравнений, которые отвечают геометрии, имеют «неправильную» структуру для построений циркулем и линейкой. Ванцель был хорошо знаком с группами Галуа и в 1845 году нашел новое доказательство того факта, что некоторые алгебраические уравнения нельзя решить в радикалах. Доказательство близко следовало идеям Руффини и Абеля, но позволяло упростить эти идеи и выразить их более ясно. Во введении Ванцель пишет:
Хотя доказательство [Абеля] в итоге является верным, оно представлено в настолько сложном и неясном виде, что не получило всеобщего признания. За много лет до того Руффини… рассматривал тот же вопрос еще более туманным способом… Размышляя о работах этих двух математиков, мы пришли к доказательству, представляющемуся настолько строгим, что оно устраняет все сомнения касательно этой важной части теории уравнений.
Единственной остающейся задачей Античности была квадратура круга, сводящаяся к построению отрезка, длина которого была бы точно равна π. Доказать невозможность такого построения оказалось намного сложнее. Почему? Дело не в том, что у числа π минимальный многочлен неправильной степени, а в том, что, как оказалось, у него вообще нет минимального многочлена — нет такого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, корень которого был бы равен π. Таким корнем может быть число, сколь угодно близкое к π, но невозможно получить в качестве корня точно число π.
Математики девятнадцатого столетия осознавали, что различие между рациональными и иррациональными числами можно было с пользой для себя сделать более тонким. Имелись иррациональные числа различных видов. Относительно «ручные» иррациональности, подобные √2, нельзя точно выразить в виде дроби (т.е. записать как рациональное число), но их можно представить, используя рациональные числа. Они удовлетворяют уравнениям, коэффициенты которых — рациональные числа; в случае числа √2 это уравнение x2 − 2 = 0. Про такие числа говорят, что они алгебраические. Но математики осознали, что в принципе могут существовать иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими, связь которых с рациональными числами намного менее прямая, чем для алгебраических чисел. Они во всем выходили за границы царства рациональности.
Самый первый вопрос состоял в том, действительно ли такие «трансцендентные» числа существуют
[31]? Греки полагали, что все числа могут быть рациональными, пока Гиппас не развеял эти иллюзии, а Пифагор, как говорят, пришел в такое негодование, что велел выбросить за борт гонца, принесшего эту весть. (Более вероятно все же, что Гиппаса просто изгнали из пифагорейской школы.) Математикам девятнадцатого столетия было известно, что всякая вера в то, что все числа являются алгебраическими, равным образом должна была привести к трагедии, но в данном случае они довольно долго не могли найти своего Гиппаса. Все, что требовалось, — это доказать, что некоторое конкретное вещественное число — разумным кандидатом было число π — не является алгебраическим. Но уже достаточно трудно доказать, что некоторое число — например, π — иррационально, для чего надо убедиться в том, что не существует ни одной пары целых чисел, которая давала бы π в результате деления одного числа на другое. Чтобы доказать, что некоторое число не является алгебраическим, надо заменить эти гипотетические целые числа на все возможные уравнения любой степени, а затем прийти к противоречию. Дело сильно запутывается.
Первый значительный прогресс был достигнут немецким математиком и астрономом Иоганном Ламбертом в 1768 году. В работе о трансцендентных числах он доказал, что π иррационально, и его метод проложил дорогу всем последующим исследователям. Ламберт существенно использовал идеи из анализа, в особенности концепцию интеграла. (Интеграл заданной функции представляет собой функцию, скорость изменения которой есть исходная функция.) Исходя из предположения, что π в точности равняется некоторой дроби, Ламберт предложил вычислить достаточно сложный интеграл
[32] изобретенный им специально для этой цели, куда входили не только многочлены, но и тригонометрические функции. Имеются два разных способа вычисления этого интеграла. Один из них дает в ответе нуль. Другой показывает, что ответ не равен нулю.
Если π — не дробь, то ни один из способов вычисления не применим, так что никаких проблем не возникает. Но если π — дробь, то, следовательно, нуль равен чему-то, что нулю не равно. Приехали.
Подробности доказательства Ламберта носят технический характер, но способ, которым оно работает, оказывается очень информативным. Для начала ему пришлось соотнести π с чем-то более простым, и на помощь в этом деле пришла тригонометрия. Следующая задача состояла в том, чтобы сконструировать такую ситуацию, в которой при рациональном π случилось бы нечто особенное. Именно тут в дело вступили многочлены — при поддержке умной мысли о том, что надо использовать некоторый интеграл. Затем доказательство свелось к сравнению двух различных методов вычисления этого интеграла и демонстрации того факта, что эти методы приводят к разным ответам. Это достаточно техническая и громоздкая часть доказательства, однако для специалиста она не представляет никаких сложностей.
Доказательство Ламберта было значительным шагом вперед. Однако же великое множество иррациональных чисел построить можно; наиболее очевидным примером такого числа является √2 — диагональ единичного квадрата. Таким образом, доказательство иррациональности числа π не означало, что построить его нельзя. Оно означало лишь, что бессмысленно было пытаться точно выразить π в виде дроби, но это совсем другая постановка вопроса.
