Эти «кирпичики» известны как простые алгебры Ли. Они выделены свойствами, очень похожими на идею Галуа о простой группе — группе без нормальных подгрупп, не считая тривиальных. На самом деле простые группы Ли имеют простые алгебры Ли, и обратное тоже почти верно. Потрясающе, что Киллинг преуспел в перечислении всех возможных простых алгебр Ли. Математики называют подобные теоремы классификацией.
В глазах Киллинга эта классификация была предельной версией чего-то гораздо более общего, и его огорчал ряд ограничительных предположений, которые ему пришлось сделать, чтобы добиться хоть какого-то результата. Особенно ему докучала необходимость предполагать простоту, что заставило его перейти к алгебрам Ли над комплексными числами, а не над вещественными. Первые ведут себя лучше, но менее прямым образом связаны с геометрическими проблемами, владевшими воображением Киллинга. Из-за этих, им же наложенных, ограничений он не считал, что его работа заслуживает опубликования.
Ему удалось установить контакт с Ли, который, впрочем, оказался не слишком плодотворным. Сначала Киллинг написал Клейну, который свел его с помощником Ли Фридрихом Энгелем, в то время работавшим в Христиании. Киллинг и Энгель сразу нашли общий язык, и Энгель превратился в активного сторонника его деятельности, помог ему преодолеть некоторые сложности и призывал развивать свои идеи и дальше. Без Энгеля Киллинг мог бы и забросить это дело.
Сначала Киллинг полагал, что знает полный список простых алгебр Ли и что это алгебры so(n) и su(n), соответствующие двум бесконечным семействам
[49] групп Ли — специальным ортогональным группам SO(n), состоящим из всех вращений в п-мерном пространстве, и их аналогам SU(n) для комплексных п-мерных пространств, так называемых специальных унитарных групп. Историк Томас Хокинс представлял себе «изумление, с которым Энгель читал письмо Киллинга, содержащее эти смелые предположения. Какой-то малоизвестный профессор из Лицея, посвятившей себя образованию лиц духовного звания в глухом углу Восточной Пруссии, поддерживает общение с авторитетнейшими учеными и высказывает гипотезы о глубоких теоремах из разработанной Ли теории групп преобразований».
Летом 1886 года Киллинг посетил Лейпциг, где работали Ли и Энгель. К сожалению, между Ли и Киллингом возникли трения; Ли никогда не отдавал должного работам Киллинга и старался принизить их значимость.
Киллинг быстро обнаружил, что его исходное предположение о простых алгебрах Ли было неверным, ибо он открыл новую алгебру, которой соответствует группа Ли, известная сейчас как G2. Ее размерность равнялась 14, и она, в отличие от специальных линейных и ортогональных алгебр Ли, судя по всему, не принадлежала к какому-либо бесконечному семейству. Она представляла собой одинокое исключение.
Если это казалось странным, то еще более странной была окончательная классификация, которую Киллинг получил зимой 1887 года. К двум бесконечным семействам Киллинг добавил третье — алгебры Ли sp(2n), соответствующие тому, что сейчас известно как симплектические группы Sp(2n). (В наше время ортогональные группы разбивают на два различных подсемейства в зависимости от того, действует ли группа на пространстве четной или нечетной размерности, что приводит к наличию четырех семейств; на то есть веские причины.) А исключительная группа G2 приобрела пятерых спутников: двух с размерностью 56, а также короткое семейство, быстро подходящее к концу, с размерностями 78, 133 и 248.
Классификация Киллинга была получена с применением длинных алгебраических рассуждений, с помощью которых всю проблему удалось свести к прекраснейшей задаче из геометрии. Из гипотетических простых алгебр Ли он сумел извлечь конфигурацию точек в многомерном пространстве, известную теперь как система корней. Ровно для трех простых алгебр Ли система корней живет в двумерном пространстве. Эти корневые системы показаны на рисунке.
Системы корней в размерности два.
Эти диаграммы обладают высокой степенью симметрии. Они несколько похожи на узоры, которые видны в калейдоскопе, где два зеркала, расположенные под углом друг к другу, создают множественные отражения. Эта схожесть неслучайна, потому что системы корней имеют чудесные, изящные группы симметрии. Известные ныне как группы Вейля (что несправедливо, потому что изобрел их Киллинг), они представляют собой многомерные аналоги узоров, образованных отражаемыми объектами в калейдоскопе.
Структура в основе доказательства Киллинга состоит в том, что поиск всех возможных простых алгебр Ли можно вести, разбивая алгебры на симпатичные куски, аналогичные структурам, обнаруженным в su(n). Тогда классификация сводится к геометрии этих кусков с использованием их чудесных симметрий. Разобравшись с геометрией этих кусков, можно привязать результаты к задаче, которую на самом деле требовалось решить, — задаче нахождения возможных простых алгебр Ли.
Киллинг выразил это таким образом: «Корни простой системы соответствуют простой группе. Обратно, можно рассматривать корни простой группы как порожденные некоторой простой системой. Таким образом получаются простые группы. Для каждого l имеются четыре структуры, а при l = 2, 4, 6, 7, 8 к ним добавляются исключительные простые группы». Здесь слово «группа» используется как сокращение выражения «инфинитезимальная группа», что в наши дни называется алгеброй Ли, а l — размерность системы корней.
Четыре структуры, о которых говорит Киллинг, — это алгебры Ли su(n), so(2n), so(2n + 1) и sp(2n), соответствующие семействам групп SU(n), SO(2n), SO(2n + 1) и Sp(2n) — унитарным группам, ортогональным группам в пространстве четной размерности, ортогональным группам в пространстве нечетной размерности и симплектическим группам в пространстве четной размерности.
Симплектические группы служат симметриями переменных «координата-импульс», введенных Гамильтоном в его формулировке механики, и число размерностей всегда четно, потому что переменные координата-импульс объединены в пары. Помимо этих четырех семейств Киллинг утверждал существование в точности шести других простых алгебр Ли.
Он был почти прав. В 1894 году французский геометр Эли Картан заметил, что две Киллинговы 56-мерные алгебры — это на самом деле одна и та же алгебра, рассматриваемая двумя различными способами. Это означает, что имеется только пять исключительных простых алгебр Ли, соответствующих пяти исключительным простым группам Ли: старая знакомая Киллинга G2 и четыре других, которые сейчас называются F4, E6, Е7 и E8.
Это на редкость любопытный ответ. Бесконечные семейства в целом понятны — они связаны с различными геометриями естественных типов в произвольном числе размерностей. Но пять исключительных групп Ли, по видимости, не связаны ни с чем геометрическим, и их размерности не следуют никакому правилу. Чем выделены пространства размерностей 14, 56, 78, 133 и 248
[50]? Что стоит за этими числами? Представьте себе, что требуется перечислить все формы, которые может иметь кирпич, а ответ оказывается чем-то вроде такого:
