Его частично предвосхитил Герман Вейль, также написавший книгу о группах в квантовой теории. Но основной интерес Вейля концентрировался на фундаментальных вопросах, тогда как целью Вигнера было решение конкретных физических задач. Вейль гнался за красотой, а Вигнер искал истину.
Подход Вигнера к теории групп можно понять в простом классическом контексте — на примере колебаний барабана. Музыкальные барабаны, как правило, округлые, но в принципе могут быть любой формы. При ударе палочкой мембрана барабана начинает вибрировать и создает звук. Барабаны различных форм производят различные звуки. Полоса частот, которые может создать данный барабан, называемая его спектром, сложным образом зависит от его формы. Если барабан симметричен, то можно ожидать, что симметрия появится и в его спектре. Она там и появляется, но довольно тонким образом.
Представим себе прямоугольный барабан — из числа тех, какие нечасто увидишь за пределами математических факультетов. Типичные колебания такого барабана разбивают его поверхность на некоторое число меньших прямоугольников, как, например, показано на рисунке.
На рисунке мы видим различные картины колебаний с двумя различными частотами. Это мгновенные снимки этих колебаний. Темные области смещены вниз, а светлые — вверх.
Две картины колебаний прямоугольного барабана.
Из симметрий барабана вытекают следствия для картин колебаний, поскольку любое преобразование симметрии барабана можно применить к любой возможной картине колебаний, что даст другую возможную картину колебаний. Таким образом, каждая картина колебаний включается в набор других, связанных с ней в соответствии с симметрией. Однако каждая отдельная картина колебаний не обязана иметь те же симметрии, что и барабан. Например, прямоугольник симметричен относительно вращения на 180°. Если применить это преобразование симметрии к двум приведенным выше картинам, они примут вид, показанный на рисунке.
Левая картина не изменилась, так что она, как и барабан, обладает симметрией относительно данного вращения. Но на правой темные и светлые области поменялись местами. Этот эффект называется спонтанным нарушением симметрии, и он очень распространен в физических системах: он возникает, когда в симметричной системе имеются состояния с более низкой симметрией. Левая картина не нарушает симметрии, а правая — нарушает. Посмотрим внимательно на правую картину и разберемся, что следует из ее нарушенной симметрии.
Те же две картины колебаний прямоугольного барабана после поворота барабана на 180°.
Хотя исходная картина и результат ее поворота не совпадают, обе осуществляют колебания на одной и той же частоте, поскольку поворот является симметрией барабана, а следовательно, и тех уравнений, которые описывают его колебания. Поэтому спектр колебаний барабана содержит данную конкретную частоту «два раза». Может показаться, что это трудно наблюдать экспериментально, но если слегка модифицировать барабан, так, чтобы нарушить его вращательную симметрию — скажем, сделать небольшую вмятину вдоль одного из краев, — то две данные частоты начнут слегка отличаться друг от друга, и тогда мы сможем заметить наличие двух очень близких частот. Такого не случилось бы, если бы данная частота содержалась в симметричном барабане только один раз.
Вигнер понял, что тот же эффект возникает для симметричных молекул, атомов и атомных ядер. Звуки, издаваемые барабаном, становятся здесь колебаниями молекул, а спектр звуков заменяется на спектр испущенного или поглощенного света. В квантовом мире спектр создается переходами между состояниями с различными энергиями, и атом излучает фотоны, энергия которых (а потому, как учит нас Планк, и частота) соответствует разнице этих энергий. А спектр можно детектировать, используя спектроскоп. И опять же, некоторые из частот — наблюдаемые в виде спектральных линий — могут оказаться двойными (или имеющими более высокую кратность) в силу симметрии, которой обладают молекула, атом или ядро.
Как детектировать это кратности? В отличие от барабана в молекуле нельзя сделать вмятину. Но можно поместить молекулу в магнитное поле. Оно также разрушает исходную симметрию и приводит к расщеплению спектральных линий. Далее можно использовать теорию групп — точнее, теорию представлений групп — для вычисления частот и того, как они расщепляются.
Теория представлений — одна из самых прекрасных и мощных математических теорий, но она также предъявляет высокие технические требования и содержит множество скрытых ловушек. Вигнер превратил ее в высокое искусство. Другие пытались следовать за ним по пятам.
В 1930 году американский Институт высших исследований в Принстоне предложил Вигнеру работу по совместительству, и он начал курсировать между Принстоном и Берлином. В 1933 году нацисты провели закон, запрещавший евреям работать в университетах, так что Вигнер перебрался в Соединенные Штаты на постоянное жительство — собственно в Принстон, где он поменял свое имя на англизированный вариант — Юджин Пол. Его сестра Маргит приехала к нему в Принстон и познакомилась с Дираком, находившимся там с визитом. В 1937 году, к изумлению многих, они поженились.
С браком Маргит все было хорошо, зато с работой Юджина — нет. В 1936 году Вигнер писал: «Из Принстона меня выгнали. Никто не объяснил почему. Трудно представить, насколько я зол». В действительности Вигнер сам написал заявление об уходе — по-видимому, потому, что его карьерный рост происходил недостаточно быстро. Можно предположить, что отказ Принстонского института продвигать его дальше был им воспринят как завуалированное предложение подать в отставку, так что он верил в то, что его выгнали.
Он быстро нашел новую работу в университете Висконсина, принял гражданство США и познакомился со студенткой-физиком по имени Амелия Франк. Они поженились, но в течение года Амелия умерла от рака.
В Висконсине Вигнер переключился на исследование ядерных сил и обнаружил, что ими управляет группа симметрии SU(4). Он также сделал фундаментальное открытие, относящееся к группе Лоренца, опубликовав его в 1939 году.
Однако в то время теория групп не была стандартной частью образования физика, и ее основными применениями оставались довольно специальные области кристаллографии. Для большинства физиков теория групп выглядела и сложной, и непривычной — сочетание достаточно фатальное. Квантовые физики, пришедшие в ужас от того, что свалилось им на голову, описывали происходящее как Gruppenpest, т.е. групповую заразу. Вигнер вызвал эпидемию, а его коллеги не желали заражаться. Однако взгляды Вигнера оказались пророческими. Теоретико-групповые методы заняли доминирующее положение в квантовой механике, поскольку влияние симметрии оказалось всепроникающим.
