Варианты ответов
1. Открыть первый билет, если размер выигрыша вас устраивает, больше билетов не открывать.
2. Открыть первый билет, затем второй, если выигрыш на втором больше, чем на первом, останавливайтесь на этом билете, в противном случае переходите к третьему.
3. Никак, любой билет дает максимальный выигрыш с одинаковой вероятностью 1/3.
Правильный ответ: 2
Для определенности: пусть один билет выигрывает $1, второй $2, третий $3. Мы их так и обозначим: 1, 2, 3. Последовательность вытягивания билетов может быть такой (все возможные варианты, совершенно равновероятные): 123 (А), 132 (Б), 213 (В), 231 (Г), 312 (Д), 321 (Е). Если мы будем действовать по выбранному плану, то в половине случаев (Б, В, Г) мы обеспечим себе максимальный выигрыш ($3), в двух случаях (А и Д) средний выигрыш ($2) и только в одном (Е) – минимальный ($1). 50 % на получение максимального приза – это гораздо лучше, чем средние 33 % (1/3), которые были у нас изначально. Любопытно, что в случае N билетов, где при случайном выборе билета вероятность получения максимального приза равна 1/N (если N = 100, то это всего-то 1 %), схожим образом можно обеспечить себе большую вероятность выбора билета с максимальным выигрышем: пропускаем N/e билетов (e ≈ 2,718281828… – основание натурального логарифма, см. также задачу № 85), а после выбираем билет с первой максимальной (большей всех предыдущих) суммой приза. В этом случае вероятность угадать составляет 1/e ≈ 0,37, это больше, чем один к двум, очень хорошие шансы! Подробнее – в книге Ф. Мостеллера «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями».
82. Пельменный чемпион
В Омске проводят конкурс по поеданию пельменей – кто осилит больше. К финалу допускаются только те, кто способен съесть не менее сотни. В финал вышли четверо: Александр, Борис, Владимир и Геннадий. Известно, что победил Александр, Борис с Владимиром на пару съели 599 пельменей, а всего в финале их уничтожили ровно 1000 штук.
Сколько же съел победитель?
Варианты ответов
1. 300 пельменей.
2. 301 пельмень.
3. 302 пельменя.
Правильный ответ: 2
Для краткости обозначим съеденное каждым «спортсменом» по первым буквам их имен: А, Б, В и Г. Мы знаем, что А + Б + В + Г = 1000, Б + В = 599 (и, значит, А + Г = 401) и что А, Б, В, Г ≥ 100. Отсюда следует, что А ≤ 301, но тогда Александр может быть победителем только при условии, что Борис съел 300, а Владимир 299 (или наоборот, что нам совершенно неважно – мы не интересуемся занявшими второе и третье места; важно, что если кто-то из них слопал 301 или больше, то Александр уже никак не может победить), Геннадий съел ровно 100, а Александр 301 пельмень. Это и есть ответ.
83. Землекопы
Три землекопа могут вскопать 1 га за 2 ч. За какое время им удастся вскопать 3 га, если прикомандировать к ним еще двух столь же работоспособных землекопов?
Варианты ответов
1. За те же 2 ч.
2. За 2 ч 40 м.
3. За 3 ч 36 м.
Правильный ответ: 3
Если действовать по всем правилам, то сначала нужно посчитать производительность одного землекопа – это 1/3 га за 2 ч, т. е. 1/6 га/ч. Теперь, чтобы найти время обработки 3 га пятью землекопами, нужно взять 3 га, разделить на производительность одного землекопа и на число землекопов, получим 18/5 = 3,6 ч, или 3 ч 36 м. Но можно и грубо прикинуть, без детальных расчетов: объем работ вырос втрое, а производительность бригады в 5/3 ≈ 1,7 раза. Вспоминая, что 1,7 – это примерное значение √3, сразу получаем, что время работы должно увеличиться где-то в те же 1,7 раза. Из предложенных вариантов ответа только третий близок к этому значению, его и берем.
84. Считаем в уме I
Чему равняется произведение 748 × 1503?
Варианты ответов
1. 1 096 124.
2. 1 124 244.
3. 1 244 124.
Правильный ответ: 2
Казалось бы, что может быть интересного в перемножении двух чисел? Берешь калькулятор и считаешь. Но с калькулятором и правда ничего интересного – иное дело попробовать посчитать в уме. Со всеми такими задачами главное – считать не в лоб, а попытаться увидеть, как можно облегчить себе работу. В конкретном нашем примере запишем 748 как (1500 – 4)/2, а 1503 как (1500 + 4) – 1, тогда получим: 748 × 1503 = (1500 – 4) (1500 + 4)/2 – 748. Вспоминая, что (a – b) × (a + b) = a² – b², получаем: 748 × 1503 = 1500²/2 – 4²/2 – 748 = 2 250 000/2 – 756 = 1 125 000–756 = 1 124 244. Возможность посчитать в уме (хотя бы приближенно, не всегда нужна совершенная точность) – очень важный навык. Знаменитый физик Ричард Фейнман посвятил этому целую главу в своей книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!»
[8], там он вычисляет в уме не только произведения, но и логарифмы, и кубические корни.
85. Считаем в уме II
С точностью до третьей значащей цифры посчитайте в уме корень 100-й степени из числа e (e = 2,718281828… – основание натурального логарифма). Это будет:
Варианты ответов
1. 1,01.
2. 1,04.
3. 1,11.
Правильный ответ: 1
Чтобы решить эту задачку, нужно помнить две вещи. Первое: извлечь корень n-й степени – то же самое, что возвести в степень 1/n, √n(a) = a1/n, в нашем случае нужно отыскать значение e в степени 1/100 = 0,01. Второе: при малых значениях аргумента функция ex (экспоненциальная функция, фундаментальная в математике – встречается без малого везде) может быть приближенно записана совсем просто: ex ≈ 1 + x. Значит, искомое значение составит 1 + 0,01 = 1,01. Сравним с более точным (до 10-го знака) значением – это 1,010050167, великолепное совпадение! Приближенные методы, вообще, бывают довольно точны (главное контролировать эту точность). Скажем, корень десятой степени из e равен 1,105170918, а вычисленный по нашей приближенной формуле – 1,1, разница в полпроцента. Правда, если мы посчитаем e1 (равно e, если считать точно, и 2 по нашей формуле), то разница будет уже ощутимой, что объяснимо: для таких больших значений x наше приближение уже плохо работает, увы. Но его можно продолжать уточнять, почитайте, если интересно, про разложение экспоненты в ряд Тейлора, вы узнаете, что при любом (sic!) значении x, даже при миллионе или миллиарде, можно приближенно записать эту функцию полиномом (степенной функцией) с желаемой точностью!
