Программа Гильберта
Какими бы странными и причудливыми ни казались нам сценарии «отеля Гильберта», «остановки Гильберта» и «гардероба Гильберта», они были очень важны для самого Гильберта, стремившегося внести ясность в эти сценарии, ибо в них отражен его метод вычислений, связанных с числами с бесконечным десятичным представлением. Вспомним, что величиной
π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…
надо овладеть во всей ее полноте и цельности. Самым демоническим в этом представлении числа π являются три точки … после первых 35 цифр после запятой. Как нам понимать эти точки? Самый правдоподобный ответ заключается в том, что π имеет не 35 знаков после запятой; этих знаков после запятой в данном числе бесконечное множество. Выше приведены 35 первых знаков. Все остальные — а их бесконечно много! — представлены коротким символом многоточия ….
«Но тогда позволительно задать вопрос, — скажет скептик в ответ на вышеприведенные рассуждения, — встречается ли, например, цифра ноль, которая в последовательности первых тридцати пяти цифр после запятой встречается всего один раз, бесчисленное множество раз в бесконечной записи числа π».
«Совершенно верно, — ответил бы на это Гильберт, — и в тех десятичных представлениях числа π, которые были до сих пор вычислены, цифра ноль встречается с той же частотой, что и все остальные цифры: в последовательности из 100 знаков после запятой цифра ноль встречается десять раз, в последовательности из тысячи знаков — сто раз, в последовательности из десяти тысяч знаков — тысячу раз и так далее».
«Пока число π вычислено до конечного числа знаков после запятой, — вставляет свое слово скептик. — Для остальных знаков — а их бесчисленное множество, то есть намного больше, чем вычисленных, — вы этого не знаете».
«Признаю, что вы правы. Для всего бесконечного множества знаков после запятой у меня в настоящий момент нет ответа. Но я тем не менее убежден, что либо верным является утверждение о том, что в десятичном представлении числа π цифра ноль встречается бесконечное число раз, либо верно утверждение о том, что число ноль встречается в этом представлении конечное число раз».
«И какое же из этих двух утверждений верно?»
«Определенно, что одно из них. — Настойчивость скептика начинает действовать Гильберту на нервы. — Но поверьте мне: передо мной стоит намного более важная задача, нежели углубляться в нерешаемую в принципе задачу о количестве цифры ноль в десятичном представлении числа π».
«То есть для вас речь идет о том, возможно ли в принципе ответить на этот вопрос?»
«Совершенно верно. Любой допустимый вопрос — а ваш вопрос, несмотря на то что он совершенно неинтересен, является допустимым — должен иметь ответ, ибо в математике нет места понятию “ignorabimus”».
«Но откуда вы черпаете свою убежденность? Как вы можете ее обосновать?»
Этот диалог скептика с Гильбертом вымышлен. Однако последний заданный скептиком вопрос побудил Гильберта наметить программу, оформленную в виде доклада, озаглавленного «О бесконечном», с которым он 4 июня 1925 г. выступил на съезде математиков в Мюнстере. Цель программы заключалась в том, чтобы «заменить работу с бесконечными величинами конечными процессами, позволяющими достичь тех же результатов, то есть пользоваться таким же ходом доказательств и такими же методами вывода формул и теорем». Что это значит?
Гильберт видит три способа поставить вопрос о том, сколько нулей содержится в десятичном представлении числа
π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88….
Возможно наивное предложение, которое вполне мог бы сделать администратор из «отеля Гильберта»: представить себе прохождение всей бесконечной последовательности знаков числа π после запятой и при этом считать все появляющиеся по ходу просмотра цифры ноль. Таким способом можно сразу получить ответ.
Это, однако, чистое безумие и вздор. Никто не может просмотреть бесконечную последовательность цифр, как, скажем, полицейский просматривает картотеку преступников в папке-регистраторе. Он может это сделать, потому что, хвала Всевышнему, в мире существует лишь конечное число преступников, но вот последовательность знаков числа π после запятой не кончается никогда. Уже Гаусс в письме, отправленном 12 июля 1837 г. своему другу Генриху Христиану Шумахеру, протестует «против использования бесконечных величин как чего-то законченного и полного, ибо в математике это недопустимо». Гильберт примыкает к этому протесту Гаусса, когда пишет, что математическая литература «переполнена несуразностями и бессмыслицами, которые по большей части обязаны своим возникновением бесконечному».
Второе предложение осторожно-сдержанное. Разумеется, что вопрос о том, встречается ли ноль в десятичном представлении числа π бесконечное или конечное число раз, имеет право на существование. Мыслимо, однако, что мы никогда не получим ответа на этот вопрос, но печалиться по этому поводу едва ли стоит, потому что хотя вопрос и допустим, но он далек от насущных проблем и малоинтересен.
Гильберт не желает примиряться с этой отговоркой. Для него принципиально не существует никакого «ignorabimus». Его не существует и для несущественных вопросов
. Встречается ли в десятичном представлении числа π ноль конечное или бесконечное число раз, должно быть тем не менее — в этом Гильберт твердо убежден — установлено принципиально: «Он, однако, ведет себя так, или он ведет себя не так (притом что я, возможно, не в состоянии это решить)!»
И наконец, лучший, третий путь, который Гильберт и формулирует в своей программе. Здесь он снова упоминает письмо Гаусса Шумахеру, где написано: «Бесконечное — это всего лишь façon de parler», то есть оборот речи. Точно так же, как Гильберт незадолго до 1900 г. истолковал геометрию как игру такими пустыми выражениями, как «точка», «прямая», «плоскость», — сведя при этом правила игры в двадцать аксиом — и смог представить геометрию в виде полной и непротиворечивой теории, он поступил и с числами с бесконечным десятичным представлением, к которым тоже можно приложить этот принцип.
Вычислительные операции с числами с бесконечным десятичным представлением в глазах Гильберта тоже выглядят как игра в шахматы на доске с бесконечным числом клеток и фигур. Так же как в шахматах существуют фигуры, которые передвигаются по определенным заданным правилам, в математике существуют числа, которыми оперируют по определенным правилам. Так же как в шахматах всегда можно наверняка сказать, поставлен ли королю соперника мат или нет, ожидается, что и в математике можно всегда с уверенностью, руководствуясь определенными принципами, определить, верна какая-либо формула или нет.
В этой шахматной игре математики слово «бесконечный» является не чем иным, как фигурой. И так же, как шахматный король не владеет королевством, не правит народом и не творит историю, а является всего лишь точеным куском дерева в руке игрока, бесконечное, согласно правилам игры Гильберта, является лишь пустым понятием, которому не соответствует ни нечто действительно великое, ни просто большое. «Бесконечное» — это всего лишь слово, с которым обходятся в соответствии с предписанными правилами. Следует, таким образом, показать, чего позволяет достичь отточенная строгой системой правил математическая «шахматная игра», в которой «бесконечное» — это такая же фигура, как, например, король в обычных шахматах, — и нужно просто следовать законам конечной арифметики, то есть вычислительным операциям с хорошо известными конечными числами. С одной стороны, все встречающиеся в этой математике формулы могут быть либо истинными, либо ложными, а с другой стороны, могут оказаться парадоксальными, но не противоречивыми, то есть не ведущими в логический тупик.
