Несмотря на все эти хитрости, писать большие числа римскими цифрами было сложно и утомительно. Еще труднее было производить вычисления и оперировать такими числами. Худо-бедно можно было справиться со сложением и вычитанием, так как римляне располагали счетным устройством — абаком (счетной доской), — которое неплохо подходило для действий с числами, представленными римскими цифрами. Умножение же чисел, записанных римскими цифрами, — задача отнюдь не из легких. Как, например, узнать, каков результат умножения LVII, то есть 57, на LXXV, то есть на 75?
Деление же было в таких ситуациях настоящим искусством. Методам деления чисел, записанных римскими цифрами, обучали в лучших университетах средневековой Европы.
Даже представители высших сословий, которые в Средние века учились читать и писать, в большинстве своем умели только складывать и вычитать. Умножение и деление было им недоступно. В те времена, однако, существовала гильдия избранных ученых, так называемых «коссистов», занимавших в городах штатные должности вычислителей. За определенную плату они делали расчеты для городских властей, ремесленников и купцов. Чаще всего речь шла об умножении и делении. «Che cosa? — спрашивала в те времена, допустим, Филиппина Вельзер своего вычислителя. — Каков результат?» Она называла вычислителей коссистами (от слова cosa ) и щедро вознаграждала их за «косу», то есть за «результат».
Просвещение началось с математики
Около 1550 г. один из самых талантливых вычислителей, живших к северу от Альп, уроженец Штаффельштайна близ Бамберга по имени Адам Ризе, изрядно попортил доходный бизнес своих коллег по цеху. Дело в том, что Ризе опубликовал книгу — написанную по-немецки, чтобы ее могли прочитать все горожанки и горожане, — в которой он описал способы вычислений, включая умножение и деление.
В первой главе, озаглавленной Numerirn («Числа»), Адам Ризе объясняет, что для расчетов следует использовать не громоздкую запись чисел римскими цифрами, а более простую и удобную запись. Ризе с великим тщанием объясняет читателям суть арабских цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, обозначающих первые девять натуральных чисел. Далее Ризе поясняет, что для записи больших чисел необходима еще и десятая цифра — ноль, и посвящает своих читательниц и читателей в тайну десятичной системы счисления: значение каждой цифры в записи числа зависит от позиции цифры. Например, в числе 4205 пять стоит в позиции единиц, ноль — в позиции десятков, 2 — в позиции сотен, а 4 — в позиции тысяч. На этом же примере Ризе объясняет, как велика в записи роль нуля, ибо 4205 — это совсем иное число, нежели 425, или 4250, или, допустим, 42050.
В следующих главах, озаглавленных Addiren («Сложение»), Subtrahirn («Вычитание»), Multiplicirn («Умножение») и Dividirn («Деление»), автор объясняет, как выполнять арифметические действия с числами, записанными арабскими цифрами. Методы, предложенные Адамом Ризе, в точности совпадают с теми, которым и сегодня учат в школах наших детей. Мало того, Ризе не просто дает своим читателям общее представление о методах счета, он учит выполнять арифметические действия на великом множестве примеров, чтобы люди смогли в совершенстве овладеть этими методами.
Заключительная глава называлась Regula Detri («Тройное (золотое) правило»). В последней главе Ризе объясняет «это тройное правило» (Dreisatz ), или, как его называют в Австрии и Южной Германии, «правило окончательного расчета» (Schlussrechnung ). Это правило является фундаментом всех важных в хозяйстве и торговле вычислений и расчетов.
Задача всегда формулируется тремя предложениями — двумя утверждениями и одним вопросом: «Пятеро каменщиков возводят за пять дней стену длиной пять метров. Теперь десять каменщиков работают десять дней. Какова длина возведенной ими стены?» «6 локтей ткани стоят 42 крейцера. За ткань был уплачен 91 крейцер. Сколько ткани было куплено?» Таких примеров в книге приведено великое множество, и в каждом случае Ризе терпеливо объясняет ход правильного решения.
Книга Адама Ризе пользовалась оглушительным успехом. Только при его жизни она выдержала больше ста изданий. После выхода в свет книги Адама Ризе коссисты потеряли свое значение, ибо никто больше не нуждался в их услугах — все стали считать самостоятельно.
С точки зрения истории развития человеческого духа и познания достижение Ризе невозможно переоценить. Впервые люди перестали зависеть от алчных ученых, втайне выполнявших важные, но недоступные простым людям расчеты. Теперь никаких тайн больше не существовало. Никто теперь не нуждался в мастерах счета — все умели считать сами, так же как читать и писать. Адам Ризе освободил представительниц и представителей третьего сословия от зависимости. После тьмы Средневековья забрезжила эпоха Просвещения .
Когда время от времени слышишь провокационный вопрос о том, зачем надо преподавать в школе математику, ответ — в духе рассказанной истории — напрашивается сам собой: затем, что математика стала первым и самым успешным достижением просвещения.
Однако Адам Ризе был не первым, кто попытался внедрить в Европе арабскую нумерацию. Задолго до него, в начале XIII в., итальянский математик Фибоначчи написал «Книгу абака» (Liber Abaci), в которой первым (если не считать арабских математиков) объяснил суть и значение арабских цифр и позиционной системы счисления. Правда, коммерческого успеха книга Фибоначчи не имела. Ее практически никто не стал читать. Возможно, все дело было в малом тираже, так как книгопечатание к тому моменту еще не было изобретено. Кроме того, книга была написана на латинском языке, который к тому времени был уже основательно забыт жителями Италии.
За несколько столетий до Фибоначчи французский священник Герберт Орильякский, обучаясь в университетах Севильи и Кордовы, столкнулся с арабскими цифрами. В 999 г. Герберт Орильякский был избран папой под именем Сильвестр II. Правда, его святейшество, изучив новую нумерацию, так и не понял ее значимости: вероятно, это было связано со своеобразием цифры 0.
В самом деле, ноль — весьма загадочное число. Но в представлении чисел важно одно его свойство — с помощью нуля можно без труда записывать сколь угодно большие числа: 1 000 000 — это один миллион, 1 000 000 000 — один миллиард, 1 000 000 000 000 — один триллион, и так далее. Записывать большие числа с помощью ряда нулей довольно хлопотно и утомительно, и поэтому такие числа записывают с помощью степеней. Например, 106 — это миллион, 109 — миллиард и так далее.
Не стоит также упускать из вида, что в англоязычных странах большие числа называют совсем по-другому. Хотя 106 там, как и в Германии, называют миллионом, но 109 — это уже биллион, а 1012 — триллион. То, что «биллион» надо переводить как «миллиард», а «триллион» как «биллион»
(5), может даже для высокообразованных людей стать иногда источником прискорбных ошибок и недоразумений. Для людей, профессионально оперирующих астрономическими числами, однако, эти наименования — будь то немецкие миллионы, миллиарды, биллионы, биллиарды и триллионы или английские миллионы, биллионы, триллионы, квадриллионы и квинтиллионы — не играют большой роли. Специалисты говорят, например, «десять в одиннадцатой степени», когда имеют дело с числом 1011, то есть с сотней миллиардов, числом, которое можно записать единицей с одиннадцатью нулями. При таком подходе недоразумения не возникают никогда.
