Величие научной идеи зиждется на ее способности поощрять мысль и открывать новые направления для исследования.
Поль Дирак
В ходе разработки теории преобразований Дирак ввел новую важную переменную, которая со временем стала полезным инструментом развития современной физики, — функцию δ. Язык современной физики невозможно понять без ее использования. В наши дни любой текст по квантовой теории содержит специальные разделы, посвященные функции Дирака и ее главным свойствам, она участвует в решениях всех проблем, относящихся к субатомному миру. В статье «Физическая интерпретация квантовой динамики» Дирак писал о введении функции δ:
«Мы не можем двигаться вперед в развитии матричной теории с вереницей строк и столбцов, не введя для этого функцию с-числа, называемого х, которая равна нулю во всех точках — кроме точки, где x крайне мало, — и интеграл которой в любой окрестности x = 0 равен 1».
Дирак сформулировал свою функцию в следующем виде:
δ(x) = 0, если x ≠ 0;
+∞
∫δ(x)dx = 1,
-∞
и затем утверждал:
«Конечно, δ(x) не является собственно функцией числа х, но она может рассматриваться как предел последовательности ряда функций. Как бы там ни было, δ(x) может использоваться как собственно функция в практических целях разрешения любой проблемы квантовой теории, и полученные результаты никогда не будут ошибочными».
Работа Дирака в очередной раз показалась коллегам восхитительной, но он не первым пришел к подобному выводу. Йордан изучал ту же проблему и разработал собственную теорию преобразований. И если путь двух физиков был разным, выводы их совершенно совпадали. Через два месяца после публикации работ Дирака и Йордана Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности, математическая формулировка которого основывалась большей частью на теории Дирака — Йордана. Дирак сформулировал в своей работе идею, близкую к принципу неопределенности Гейзенберга:
ФУНКЦИЯ δ ДИРАКА
Дирак не первым использовал функцию δ, но он обобщил ее применение, превратив ее в главный инструмент развития квантовой теории. Функция δ(x) не является математической функцией в обычном смысле слова, это не функция, которая имеет определенные значения в каждой своей точке. Напротив, она принимает значение 0 при всех значениях х, кроме точки, где х = 0 и где она превращается в бесконечность. Дирак называл ее «несвойственной функцией», чтобы отличить от обычных функций и показать, что ее использование должно ограничиваться определенным типом проблем, с которыми она совместима. Физик заметил, что его несвойственная функция при х=0 не имеет четко определяемого значения, поскольку она появляется как часть интегрирования, результат которого является прекрасно определяемой величиной. Строгий анализ функции δ(x) представлен в теории распределений, развитой в 1945 году математиком Лораном Шварцем (1915-2002). Поведение функции δ(χ) показано на рисунке 1, где видно, что она равна нулю на всем интервале величин х за исключением маленькой окрестности δ(χ) в самом начале. В представленном интервале максимум функции равен 1/ε. Следовательно, функция
РИС. 1
охватываемой окрестности равна 1. Функция δ(x) появляется как предел функции, представленной на рисунке, когда величина параметра ε стремится к 0 (ε → 0). Множество других функций могут образовывать функцию δ(x). Например, ширина знаменитой гауссовой функции, представленной на рисунке 2, определяется коэффициентом σ. Если величина этого параметра уменьшается, функция сужается все больше и больше, значительно увеличивая свое максимальное значение. Для предела, в котором ширина стремится к нулю, максимальная величина стремится к бесконечности. Математически это выражается следующим образом:
Самое важное свойство функции Дирака выражается через следующий результат:
+∞
∫f(x)δ(x-a) = f(a),
-∞
в котором f(x) соответствует любой продолжающейся функции и а — любому действительному числу. Так, умножая функцию х на δ(x - a) и особенно интегрируя x, мы возвращаемся к вычислению функции f в точке х = а. Интервал интегрирования необязательно должен расширяться от -∞ до +∞, но до любой окрестности, где находится критическая точка, в которой функция δ не обнуляется. Функция δ Дирака остается сегодня важным инструментом во всех областях физики.
РИС. 2
«В квантовой теории невозможно ответить ни на один вопрос, который отсылает к двум численным показателям двух квантовых переменных р и q (положение и начальный момент)».
ГЕТТИНГЕН И ЗАРОЖДЕНИЕ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
В начале февраля 1927 года Дирак отправился в Геттинген и провел там пять месяцев, оказавшись рядом с создателями матричной механики: Борном, Йорданом и Гейзенбергом. Университет Геттингена являлся одним из самых уважаемых исследовательских центров в мире: он был колыбелью новой квантовой теории и имел блестящие традиции в области математики. Гаусс, Риман, Дирихле, Клейн... Все они были профессорами университета Геттингена. В 1927 году в Геттингене находился и Давид Гильберт (1862-1943) — несомненно, самый влиятельный ученый-математик того времени. Некоторые из самых блестящих его учеников, такие как Джон фон Нейман (1903-1957) и Герман Вейль (1885-1955), позднее тоже сыграли важную роль в квантовой теории.
Дирак использовал пребывание в Геттингене, чтобы укрепить свои навыки и получить новые знания в разных областях математики. Он посещал занятия Вейля по теории групп. Речь идет об области математики, развившейся в XIX веке и получившей важное значение в теоретической физике благодаря работам Вейля и Юджина П. Вигнера (1902-1995). В последующие годы Вейль и Вигнер часто использовали теорию групп в рамках квантовой механики. Однако Дирак не выказывал особого интереса к этой теории, считая ее «поверхностной» для решения проблем физики.
В данном вопросе Дираку не хватило интуиции: теория групп стала краеугольным камнем в развитии современной физики. Однако Дирак оценил вклад этих ученых, особенно работу Вейля. Несколько лет спустя один журналист спросил его: «Профессор Дирак, Вам доводилось встречать кого-то, кого Вы не понимали?» Тот ответил: «Да, это был Вейль». Для части коллег Дирака, которые всегда жаловались на сложность его работ и невозможность понять его аргументацию, было откровением узнать, что существовал кто-то, чьи размышления не мог понять сам Дирак, и они наверняка испытали некоторое облегчение.
