| Фактическая частота |
Игрушечные машинки |
Конструктор |
Куклы и игрушечная мебель |
Принадлежности для рисования и рукоделия |
| Мальчики |
12 |
10 |
1 |
5 |
| Девочки |
1 |
4 |
12 |
11 |
| Ожидаемая частота |
|
| Мальчики |
6,5 |
7 |
6,5 |
8 |
| Девочки |
6,5 |
7 |
6,5 |
8 |
, „ (фактическая частота — ожидаемая частота)2
Формула: У1= У----------------------------------------------------------'-
л ожидаемая частота
Х2= 23,42; уровень вероятности <0,01
Вывод: между мальчиками и девочками существуют значимые различия в предпочтении игрушек. Рис. 7.2. Иллюстрация аналитической процедуры с использованием критерия хи-кнадрат
параметрических критериев, после чего можно будет сделать еще несколько замечаний относительно выбора статистического показателя.
Как можно было ожидать, альтернативой параметрическим являются непараметрические критерии. Рисунок 7.2 служит иллюстрацией для широко используемого непараметрического критерия хи-квадрат. Гипотетические данные, представленные на рисунке, относятся к описанному ранее исследованию предпочтений игрушек; гипотетический результат состоит в том, что предпочтение определенных игрушек является функцией от пола1. Хи-квадрат используется при наличии номинальных данных, таких, как данные, представленные на рисунке, для которых f-критерий не подходит. Для каждого из четырех уровней измерения — номинального, порядкового, интервального и уровня отношений — существуют свои непараметрические критерии. Таким образом, этот подход имеет более широкое применение, чем использование параметрических критериев. Кроме того, непараметрические показатели не связаны с предположениями о виде распределения, которые лежат в основе параметрических показателей; поэтому непараметрические критерии применимы к данным, построенным на шкалах интервалов и отношений, но не удовлетворяющим параметрическим допущениям. (Из работ, посвященных непараметрическим критериям, можно назвать следующие: Gibbons, 1993; Marasculio&McSweeney, 1977; Siegel&Castellan, 1988.)
По какому принципу осуществляется выбор между параметрическими и непараметрическими характеристиками? Как только что отмечалось, в ряде случаев выбора просто нет, поскольку единственный вариант — это непараметрический
Формулу, представленную на, рисунке, называют «определительной формулой* хи-квадрат. Есть также «калькуляционная формула»: равноценная в математическом смысле, но более удобная для проведения расчетов. Формулы многих статистических показателей также разделяются на определительные и калькуляционные.
критерий. В других случаях необходимо принять решение, и здесь приобретает значение несколько понятий. Рассмотрим два из них: мощность и устойчивость.
Термин мощность означает вероятность того, что определенный логический критерий исключит нуль-гипотезу тогда, когда ее действительно нужно исключить. Чем мощнее критерий, тем лучше он выявляет истинные различия и поэтому позволяет безошибочно отвергнуть нуль-гипотезу. Это понятие, вероятно, кажется знакомым, поскольку мощность — это еще один способ охарактеризовать ошибку второго рода. Чем мощнее критерий, тем меньше вероятность ошибки второго рода.
В некоторых случаях параметрические критерии мощнее аналогичных непараметрических критериев. По сути, это объясняется тем, что при расчете параметрического критерия используется больше информации о данных. Многие непараметрические критерии, например, ограничены порядковыми характеристиками данных, в частности, рангом показателей в сравниваемых выборках. При расчете f-критерия, напротив, задействуются фактические показатели и абсолютная разница между ними; поэтому иногда с его помощью выявляются различия, которые не смогли выявить непараметрические критерии. Следует добавить, что разница в мощности, как правило, невелика и обнаруживается преимущественно при изучений больших выборок. Кроме того, она не является чем-то неизбежным. Во многих ситуациях параметрические и непараметрические критерии обладают одинаковой мощностью. Если предположения, лежащие в основе параметрического критерия, серьезно нарушаются, непараметрические аналоги могут оказаться более мощными (см. Blair & Higgins, 1980).
Сказанное о параметрических предположениях подводит нас к понятию устойчивости. Устойчивость характеризует безопасность отклонений от допущений, лежащих в основе некоего критерия. Устойчивый критерий сравнительно нечувствителен к таким нарушениям, то есть, как правило, он позволяет сделать точные выводы о значимости даже тогда, когда допущения не соответствуют действительности. И t и f-критерии достаточно устойчивы. Именно поэтому в литературе можно часто встретить указание на их использование даже для данных, не отвечающих рассмотренным выше требованиям — данным рейтинговых шкал, к примеру, или данных, распределение которых заметно отличается от нормального, или при наличии неравной дисперсии у сравниваемых групп. Устойчивость не означает, что исследователь может, не задумываясь, применять параметрические критерии к любому типу данных; однако не следует и слишком поспешно отказываться от параметрических критериев лишь потому, что некое допущение, лежащее в их основе, нарушается. Возможно, стоит посоветоваться со специалистом: применим ли выбранный параметрический показатель к имеющимся данным?
План исследования
Мы рассмотрели две детерминанты выбора статистического показателя: уровень измерения и распределение данных. Третий фактор, который следует учитывать, — это план исследования.
Имеют значение разные аспекты плана. Один из аспектов — количество уровней независимой переменной. В нашем примере с агрессией детей дошкольного возраста этот фактор довольно прост: две возрастные группы и два пола. Поэтому здесь достаточно легко при сравнении двух уровней каждой переменной можно
применить f-критерий. Предположим, однако, что мы усложняем ситуацию, добавляя дополнительные уровни. Поскольку с полом представить это себе довольно трудно, включим новые возрастные группы. Допустим, вместо двух у нас их шесть. Что происходит тогда с нашим /-критерием?
Наиболее очевидным следствием является то, что возникает необходимость подсчитать значительно большее количество критериев. При наличии шести возрастных групп возможно 15 парных сравнений. Поэтому, чтобы что-то обнаружить, придется подсчитать значение 15 t-критериев. Рассчитывать 15 показателей и указать их все в отчете, естественно, довольно неудобно. Однако более серьезный довод против этого имеет отношение к уровню вероятности. Нам нужно, чтобы этот уровень оставался неизменным, какой бы рубеж для значимости мы ни выбрали — к примеру, традиционные 0,05. Однако наличие множества Сделает интерпретацию уровня вероятности весьма затруднительной. Получив 15 значений, каждое из которых находится на уровне 0,05, мы получаем вероятность того, что значимость по крайней мере одного из этих показателей носит случайный характер, равную 0,54.' Как же тогда интерпретировать любой статистически значимый результат?
