Первая статья начиналась с объяснения, более понятного, если это возможно, против чего возражал Лошмидт. В ней говорилось следующее:
"Так как энтропия уменьшалась бы, если бы система прошла через эту последовательность в обратном порядке, мы видим, что факт увеличения энтропии во всех физических процессах нашего мира нельзя вывести только из природы силы, которая действует между частицами, поскольку это также должно быть следствием начальных условий".
Само то, что Больцман изложил возражение в таком сжатом виде, показывает: он прекрасно понимал аргументы своего друга. Продолжение, должно быть, не очень обрадовало Лошмидта, поскольку в нем утверждалось: "Очевидно, что этот вывод очень соблазнителен и его следует назвать интересным софизмом". Использование слова "софизм" явно оскорбительно и показывает, что Больцман был совсем не доволен нападками своего учителя. В результате его ответа отношения с Лошмидтом оказались испорчены и несколько восстановились, лишь когда сам Больцман попытался вновь навести мосты в 1890-е годы, незадолго до смерти своего наставника.
Критика Лошмидта заставила Больцмана заново рассмотреть некоторые аспекты его статьи 1872 года. Самым примечательным достижением было его впервые сделанное предположение о том, что второе начало термодинамики должно выполняться не всегда, а только в огромном большинстве случаев. Так, он утверждал: "Можно только доказать, что после некоторого интервала бесконечно большое число начальных состояний приведет к однородному состоянию раньше, чем к неоднородному". То есть второе начало предсказывало: намного более вероятно, что система будет эволюционировать в однородное состояние (то есть с большей энтропией), чем то, что она разовьется в менее однородное, но что такое развитие получится не всегда.
Больцман пошел дальше и наметил свою следующую статью, утверждая, что "на основе относительных величин различных распределений состояний можно даже вычислить их вероятности". Этот тезис он развил позже, что обозначило начало статистической физики, где множества молекул берутся в целом и сравниваются не с одним и тем же газом в другие моменты, а с другими возможными конфигурациями этого газа.
Сделав введение в проблему и мастерски сформулировав свой ответ, Больцман перешел в наступление. Для этого он взял идеальный газ (газ, образованный идеальными и абсолютно упругими сферами) в неоднородном состоянии: например, в котором плотность в правой части выше, чем в левой. Он утверждал, что если позволить газу эволюционировать без внешнего воздействия, то молекулы распределятся равномерно по всему сосуду, и разница в плотности исчезнет. Как показано на следующем рисунке, газ со всеми его молекулами, собранными в углу, затем займет весь сосуд, и по-другому быть не может.
Затем Больцман поставил Лошмидта в затруднительное положение, утверждая, что, по словам последнего, если инвертировать скорость молекул в конечном положении, то газ спонтанно вернется в свое неоднородное состояние. Однако Больцман признавал невозможность доказательства того, что сферы должны перемешиваться равномерно. Но он продолжал:
"На самом деле это следствие из теории вероятностей, поскольку любое неравномерное распределение состояний, каким бы маловероятным оно ни было, нельзя считать абсолютно невозможным. (...) Действительно, ясно, что любое отдельное равномерное распределение, которое может возникнуть через некоторый интервал на основе какого-то отдельного начального состояния, настолько же невероятно, как и любое отдельное неравномерное распределение: в лотерее любое отдельное множество из пяти чисел так же невероятно, как и множество 1, 2, 3, 4, 5. Распределение состояний в итоге будет равномерным через некоторое время, только потому, что существует намного больше равномерных распределений, чем неравномерных".
Этот последний абзац сложноват для понимания и, вероятно, требует разъяснения. Сначала Больцман утверждал: любое равномерное распределение так же невероятно, как и равномерное, что может оказаться запутанным; тогда почему же газы стремятся к равномерному распределению? Ключ здесь в слове "отдельное". Если рассматривать все возможные состояния энергии каждой молекулы газа, вероятность того, что газ будет находиться именно в настоящей конфигурации, очень мала, поскольку для этого потребовалось бы, чтобы все и каждая молекулы имели в точности одну и ту же скорость в настоящий момент. Однако когда наблюдатель смотрит на систему с макроскопической точки зрения, он не знает скорости отдельных молекул, он знает только крупномасштабные свойства газа. Любое распределение, которое породит одно и то же в крупном масштабе, будет неразличимо. Больцман настаивает, что существует намного большее число сочетаний, соответствующих макроскопически однородным газам, чем неоднородным. Как показано на рисунке, различные отдельные распределения порождают одни и те же макроскопические свойства.
Итак, второе начало можно рассматривать как утверждение, в котором речь идет в большей степени не о газах самих по себе, а о макроскопической информации, которая у нас о них имеется. Больцман говорил об этом следующим образом:
"Поскольку существует бесконечно больше распределений равномерных состояний, чем неравномерных, эти последние чрезвычайно невероятны и могут считаться невозможными на практике; точно так же можно считать невозможным, что если сначала перемешать кислород с азотом в контейнере, через месяц мы найдем химически чистый кислород в нижней части, а азот — в верхней части, хотя согласно теории вероятностей, это всего лишь невероятно, а не невозможно. [...] Если это сведение второго начала к области вероятностей делает сомнительным его применение ко всей Вселенной, следует иметь в виду, что законы теории вероятностей подтверждаются всеми экспериментами, которые осуществляются в лаборатории".
В конце статьи Больцман признал ценность возражения Лошмидта, хотя, возможно, в форме, которая не понравилась его другу: "Как бы то ни было, теорема Лошмидта представляется мне имеющей максимальную важность, поскольку она показывает, насколько бесконечно связано второе начало с теорией вероятностей, в то время как первое начало независимо от нее".
Последний комментарий в ответе Лошмидту порождал многочисленные дебаты в течение XX века, которые продолжаются и сегодня. Так, в середине статьи Больцман отметил:
"Упомяну здесь одно особенное следствие из теоремы Лошмидта: тот факт, что при представлении состояния мира в бесконечно далеком прошлом мы бы верно предположили, и это очень вероятно, что находимся в состоянии, когда все различия в температуре уже исчезли, то же самое произошло бы, если бы мы предположили состояние Вселенной в далеком будущем".
Этот на ходу брошенный комментарий Больцмана представил, и представляет, многочисленные сложности для физического сообщества относительно оси времени, то есть направления от прошлого к будущему. Несмотря на то что далее мы рассмотрим это более детально, стоит сделать небольшое замечание: Больцман указывал на то, что второе начало должно быть настолько же применимо к прошлому, как и к будущему, поскольку оно ограничивается утверждением, что тела имеют тенденцию занимать более вероятное состояние. Если обратиться к далекому прошлому и задаться вопросом, каково самое вероятное состояние, в котором оно может находиться, очевидный ответ — "состояние высокой энтропии", что означает состояние высокой однородности, тепловую смерть. Действительно, проблема намного больше, чем кажется: вычисление вероятностей указывает на то, что намного более вероятно, что прошлое, которое мы принимаем как должное, есть иллюзия, и что субъект (то есть человек, получающий опыт) — не более чем статистическая флуктуация во Вселенной в состоянии тепловой смерти. На сегодняшний день было представлено несколько решений этого парадокса, и ни одно из них полностью не принято научным сообществом.
