Планк верил, что второй закон термодинамики непреложен и энтропия возрастает всегда. Согласно же интерпретации Больцмана, энтропия возрастает почти всегда. С точки зрения Планка, между этими двумя формулировками лежала огромная пропасть. Для него стать на точку зрения Больцмана было равнозначно отречению от всего, что он как физик считал святым, но выбора у него не оставалось — надо было вывести правильную формулу для излучения абсолютно черного тела: “До тех пор я не обращал внимания на соотношение между энтропией и вероятностью, совершенно не интересовался им, считая, что каждый вероятностный закон допускает существование исключений. А я в то время был убежден, что второй закон термодинамики справедлив без всяких исключений”57.
Состояние с максимальной энтропией и максимальным беспорядком — наиболее вероятное состояние системы. Для абсолютно черного тела это состояние теплового равновесия — именно то, что требовалось Планку, чтобы найти наиболее вероятное распределение энергии по осцилляторам. Если имеется всего тысяча осцилляторов и десять из них колеблются с частотой ν, именно они определяют интенсивность излучения на этой частоте. Поскольку частота каждого из электрических осцилляторов Планка фиксирована, количество излучаемой и поглощаемой им энергии зависит только от его амплитуды, то есть от размаха колебаний. Частота колебаний маятника, совершающего пять взмахов за пять секунд, равна одному колебанию в секунду. Однако если при раскачивании движение происходит по большой дуге, маятник обладает большей энергией, чем если бы дуга была меньше. Частота остается неизменной, поскольку она определяется длиной маятника, но избыточная энергия позволяет ему двигаться быстрее, описывая большую дугу. Поэтому маятник совершает то же число колебаний, как такой же маятник, двигающийся по более короткой дуге.
Планк понял, что, используя технику Больцмана, он может получить свою формулу для распределения излучения абсолютно черного тела, только если осцилляторы поглощают и излучают энергию порциями, размер которых пропорционален частоте колебаний. Планк говорил, что “самым важным местом всего расчета” было предположение о том, что при данной частоте энергия состоит из набора равных и неделимых “элементов энергии”. Позднее он назвал их квантами58.
Ведомый своей формулой, Планк был вынужден разделить энергию (E) на порции размером hν, где ν — частота осциллятора, a h — константа. Позднее равенство E = hν станет одной из самых известных формул. Если, например, частота будет равна 20, a h = 2, то величина каждого кванта энергии будет равна 20 х 2 = 40. Если при этой частоте полная энергия равна 3600, то, значит, 3600 ÷ 40 = 90 квантов распределены между десятью осцилляторами, колеблющимися с данной частотой. У Больцмана Планк научился методу, позволяющему определить наиболее вероятное распределение этих квантов среди осцилляторов.
Оказалось, что энергия каждого из осцилляторов может равняться только: 0, hν, 2hν, 3hν, 4hν и так далее до значения nhν, где n — целое число. Это соответствует тому, что поглощается или испускается целое число “элементов энергии” (квантов) размером hν. (Напоминает кассира в банке, который может выдавать купюры только достоинством в 1, 2, 5, 10, 20 и 50 фунтов стерлингов.) Поскольку осцилляторы Планка не могут иметь другой энергии, амплитуда их колебаний ограничена. Необычность такого вывода в применении к повседневному миру особенно наглядна, если рассмотреть груз, подвешенный на пружине.
Если амплитуда колебаний груза равна 1 см, его энергия равна 1 (не будем останавливаться на единицах измерения энергии). Если пружину с привязанным к ней тем же грузом растянуть на 2 см, частота колебаний остается прежней. Однако энергия, пропорциональная квадрату амплитуды, будет равна 4. Если правило для энергии осцилляторов Планка применить к грузу на пружине, то в интервале от 1 см до 2 см возможны только колебания с амплитудами 1,42 см и 1,73 см, поскольку соответствующие энергии равны 2 и 359. Например, амплитуда колебаний не может равняться 1,5 см, поскольку в этом случае энергия равнялась бы 2,25. Квант энергии неделим. Осциллятор не может получить часть кванта энергии: либо все, либо ничего. Это не согласуется с повседневной физикой. В обычном мире нет ограничений на размах колебаний и, значит на величину энергии, которая может излучаться или поглощаться или быть испущена одномоментно. Она может принимать любое значение.
От безысходности Планк открыл нечто столь важное и неожиданное, что и сам не сумел сразу оценить значение своего открытия. Его осцилляторы не могут поглощать или испускать энергию непрерывно, наподобие воды, текущей из крана. Вместо этого они могут получать и терять энергию дискретно, маленькими порциями величиной E = hν, где ν — частота колебаний, совпадающая с частотой излучения, которое может испускать или поглощать осциллятор.
Причина, по которой нельзя увидеть, что макроскопические осцилляторы ведут себя, как осцилляторы атомного размера Планка, в том, что значение h равно 0,000000000000000000000000006626 эргов, помноженных на секунду, или 6,626, деленное на тысячу триллионов триллионов. Согласно формуле Планка, энергия может увеличиваться или уменьшаться только шажками, размер которых пропорционален значению h. Однако из-за того, что величина h бесконечно мала, в нашем мире квантовые эффекты незаметны. Речь идет о маятниках, детях на качелях и грузах на пружинах.
Осцилляторы заставили Планка “нарезать” энергию излучения так, чтобы их можно было снабдить порциями нужного размера, равного hν. Он не верил, что энергия излучения действительно “нарезана” на кванты. Для него это был просто способ, которым его осцилляторы могли получать и испускать энергию. Трудность состояла в том, что, согласно методу Больцмана, после разделения энергии в конце требовалось делать порции все меньше и меньше — до тех пор, пока их размер с точки зрения математики не станет равным нулю, сами порции не исчезнут, а полученный результат все равно останется неизменным. Основой всего расчета был прием, позволявший собрать обратно разделенные кванты. К несчастью для Планка, при использовании такого приема его формула тоже исчезала. Ему некуда было деваться от квантов, но его это не волновало. Формула получена, а с остальным можно было разобраться позднее.
“Господа!” — начал Планк, представ перед членами Немецкого физического общества, собравшегося в одной из аудиторий Физического института Берлинского университета. Рубенс, Люммер и Прингсгейм присутствовали на заседании. Доклад начался в пять часов вечера в пятницу, 14 декабря 1900 года, и назывался “К теории распределения энергии излучения нормального спектра”. “Несколько недель назад я имел честь привлечь ваше внимание к новому выражению, описывающему, как мне кажется, распределение энергии излучения во всех областях нормального спектра”, — говорил Планк60. Теперь он рассказывал о физической модели, позволившей вывести новое уравнение.
Коллеги поздравляли докладчика. Они, как и сам Планк, считали введение кванта, порции энергии, “чисто формальным приемом”, о котором “не стоит слишком задумываться”. Важно было то, что Планку удалось обосновать формулу, о которой он рассказывал в октябре. Конечно, идея разделения энергии осциллятора на кванты была достаточно странной, но об этом на время можно было забыть. Все были уверены, что это трюк теоретика, остроумный математический прием, использованный, чтобы получить правильный ответ. Он не имеет истинного физического смысла. Что продолжало удивлять, так это точность полученной формулы для энергии излучения. Никто, включая самого Планка, не придал кванту энергии большого значения.
