Корелл вспомнил, что инспектор Риммер говорил о кризисе в математике.
– Был даже поставлен вопрос, насколько все это логично.
– И что? – Леонард насторожился.
– Последовало несколько амбициозных попыток подлечить пациента. Готлоб Фреге
[32] взялся доказать последовательность метода математики, несмотря на все противоречия. И ему это как будто удалось. Его magnum opus
[33] «Основоположения арифметики», казалось, поставил математику на прочную логическую платформу. Но потом Фреге получил письмо от одного очень приятного молодого человека из Кембриджа. Тот очень хвалил его сочинение: «Вы написали удивительную книгу, профессор…» Ну, и всё в таком духе. Можно представить себе такую сцену: Фреге, старая антисемитская лиса, откидывается на спинку стула, расплываясь в улыбке… Хотя здесь я немного преувеличиваю. Но не в том, что назвал его антисемитом – о поистине чудовищных взглядах профессора на этот вопрос мы узнали позже из его дневников, – но в части его самодовольства. Особых оснований для него у Фреге и в самом деле не было. Его труды игнорировались, а сам он так и остался ординарным профессором в Йене… Тем не менее Фреге вдруг увидел себя спасителем математики – не зря же молодой кембриджский корреспондент так его хвалил. Но потом он стал читать дальше. Автор письма, некий Бертран Рассел, тем не менее усмотрел в рассуждениях Фреге одно слабое место – что-то вроде нашего парадокса лжеца. Собственно, профессор имел полное право на это начхать. Кто такой был этот юнец из Кембриджа, чтобы учить самого Фреге! Юнец даже извинился за то, что вообще затронул эту тему. Тем не менее Фреге разволновался… И знаешь, чем кончилось дело? Вся возведенная Фреге конструкция рухнула, как карточный домик. Все, над чем он работал, полетело к черту…
– Но почему?
– Рассел обнаружил непоследовательность в самом способе, каким Фреге выделял в материале различные множества. Проблему составляли множества, каждое из которых не являлось элементом самого себя.
– Это как?
– Когда я посещал лекции Рассела в Кембридже, он иллюстрировал эту проблему парадоксом с венецианским брадобреем. Слышал о таком?
– Нет.
– Брадобрей бреет в своем квартале всех, кто не бреется сам. Вопрос: кто бреет брадобрея?
– И кто же?
– В том-то вся и штука… Ведь если брадобрей не бреется сам, то его должен брить брадобрей, то есть он сам. Но если он бреется сам, то должен относиться к множеству тех, кто бреется сам, а не тех, кого бреет брадобрей. Стоит задуматься над этим как следует, и парадокс вырастает в фундаментальную логическую проблему.
– Да, похоже на то… – Корелл смутился и сделал хороший глоток пива.
– А если переложить проблему в цифры, перед нами будет на первый взгляд вполне корректное математическое высказывание. Тем не менее ведущее в тупик, – сделал вывод Краузе.
– Ну…
– Вырисовывается нечто похожее на бессмысленную головоломку, но это не так. Математики имеют железное преимущество перед другими учеными: их мир замкнут, их истина на кончике пера. Им нет необходимости поднимать жалюзи и выглядывать на улицу. Достаточно немного поколдовать с цифрами. Но теперь вдруг обнаружился целый класс тождеств, противоречащих самим себе. Если они и соответствуют некой реальности, то иррациональной. Самое время вспомнить Алису в Стране чудес.
– Звучит угрожающе.
– Это я нагнетаю страсти. Мы, логики, любим это делать, иначе кто же нас станет слушать? Но правда состояла в том, что контуры математических истин становились все более расплывчаты. Истинное не всегда оказывалось истинным, а ложное – ложным. Разумеется, не обошлось без оптимистов. В их числе был Бертран Рассел. В «Principia Mathematica»
[34], которую они написали вместе с Уайтхедом, доказывается сводимость математики к логике. Рассел ввел несколько аксиом и основных математических понятий, разделив все поле деятельности математики на множество небольших участков, в пределах каждого из которых не обнаруживается противоречий, и, таким образом, вернул математикам прежнюю уверенность в своих силах. Выдающийся ученый нашего времени Давид Гилберт
[35] был уверен, что Расселу удалось реабилитировать математику как науку. Иное было просто невозможно. «Где еще нам искать истину, если нас обманет математика? – писал Гилберт. – Никто не изгонит нас из канторовского рая
[36]».
– Изгнать из рая?
Корелл допил остатки эля.
– Гилберт имел в виду математический рай, – объяснил Краузе. – Он называл себя формалистом. Возможно, математике не под силу описать физическую действительность. Но до тех пор, пока живет по собственным законам, она словно окружена некой водонепроницаемой оболочкой. Система самодостаточна, если только отвечает трем условиям: непротиворечивости, полноты и определенности.
– И что это значит?
– Под непротиворечивостью понимается отсутствие противоречий внутри системы. Под полнотой – что любое истинное высказывание должно быть также истинным согласно внутренним правилам системы. Определенность означает наличие метода, позволяющего определить в отношении любого высказывания – каково бы оно ни было, – возможно ли его разрешение в рамках системы. Гилберт поставил вопрос о соответствии математики этим требованиям. Он не сомневался, что проблемы лежат за пределами математики. Потому что в ее границах нет и не может быть никакого Ignorabimus
[37].
– И чем все кончилось?
– Полным провалом. Его рай оказался потерян для нас навсегда.
– Потерянный рай, – повторил Корелл.
– Есть такой парень, Курт Гёдель, – продолжал Краузе. – Он австриец, как и я. Или чех, это как посмотреть. Я встречался с ним в Принстоне, когда читал там лекции. Или встречался – слишком громкое слово… Во всяком случае, я его видел. Гёдель – одиночка. Примечательный тип – тощий, замкнутый параноик. И ипохондрик к тому же, как я слышал. Он почти не ест из опасения отравиться. И у него есть один-единственный друг. Угадай кто?
