Логарифмы позволили умножать любые числа быстро и точно. Двадцать лет, потраченных на составление численных таблиц одним математиком, сэкономили десятки тысяч рабочих человеко-лет его последователям, и те смогли полностью посвятить свое время трудоемкому научному анализу. Наука не смогла бы продвинуться дальше без этого метода. И невозможно подсчитать выгоду от него.
ЧТО ТРИГОНОМЕТРИЯ ДАЕТ НАМ
Тригонометрия играет главную роль во всем, что касается картографии, – от строительной площадки до континентов. Точно измерить углы относительно просто, а вот оценить так же точно расстояние – иная задача, особенно для пересеченной местности. Из-за этого геодезисты начинают работу с максимально точного измерения длины базовой линии, представляющей расстояние между двумя определенными точками. Затем они строят сеть треугольников и используют величины их углов плюс тригонометрию, чтобы вычислить длины сторон. Так можно построить очень точную карту любой области. Это процесс получил название триангуляции. Для проверки точности данных после составления первой карты весь процесс может повториться с использованием другой базовой линии.
Триангуляция Южной Африки Лакайля
Приведенный здесь рисунок – не более чем пример: это знаменитая карта Южной Африки, составленная в 1751 г. известным астрономом аббатом Никола Луи де Лакайлем. Его главной целью было создание каталога звезд Южного полушария, но для получения точных результатов ему пришлось начать с измерения дуги меридиана земного шара. Для этого он провел триангуляцию для территории к северу от Кейптауна.
Его результат позволил предположить, что кривизна земного шара меньше в северных широтах, чем в южных: удивительное для того времени явление, подтвержденное дальнейшими измерениями. Земля действительно слегка напоминает по форме грушу. Каталог, составленный ученым при помощи рефракторного телескопа, оказался поразительно точным: в нем обозначено 15 из известных сейчас 88 созвездий и перечислено 10 тыс. звезд.
Глава 6. Кривые и координаты
Геометрия – это алгебра – это геометрия
Мы привычно делим математику на такие самостоятельные области, как арифметика, алгебра, геометрия и т. д., но это скорее дань извечному стремлению человечества всё разложить по полкам. Ведь в математике нет строгих и непреодолимых границ между вроде бы независимыми областями, и проблема, на первый взгляд касающаяся одной сферы, может быть решена методами, изобретенными в другой. Многие великие прорывы в науке совершались именно благодаря неожиданно открытой связи между казавшимися независимыми темами.
ФермА
Греческие математики проследили такие связи между теоремой Пифагора и иррациональными числами, а Архимед использовал механические аналогии и методы для определения объема шара. Истинное значение и важность таких взаимно плодотворных пересечений стали очевидны в короткий период на десять лет раньше и позже 1630 г. За этот короткий отрезок истории два выдающихся математика успели открыть важную связь между алгеброй и геометрией. Фактически они показали, что каждую из этих областей можно преобразовать в другую с помощью координат. Вся геометрия Евклида и его последователей может быть сведена к алгебраическим вычислениям. А вся алгебра может быть интерпретирована в терминах геометрии: кривых и поверхностях.
Кажется, что такие связи могут сделать одну из областей излишней. В самом деле, если всю геометрию можно заменить алгеброй, зачем она нужна? Однако каждая область имеет свою специфическую точку зрения, подчас гораздо более проницательную и плодотворную. Иногда ученому лучше мыслить геометрически, а иногда – алгебраически, чтобы решить задачу.
Первым ученым, создавшим систему координат, был Пьер де Ферма. Он прежде всего известен благодаря своей теории чисел, но также изучал другие вопросы математики, включая вероятность, геометрию и приложение к оптике. Примерно в 1620 г. Ферма, пытаясь понять геометрию кривых линий, начал по сохранившимся до его времени крупицам сведений восстанавливать утраченный труд, названный когда-то Аполлонием «Плоские места». Закончив это, Ферма продолжил собственные изыскания, описанные им в 1629 г., но изданные только через 50 лет в книге «Введение к теории плоских и пространственных мест». Здесь он подробно рассмотрел преимущества преобразования геометрических понятий в алгебраические термины.
Свойства фокусов эллипса
Геометрическое место точек (ГМТ) определяет геометрическую фигуру как множество точек на плоскости или в пространстве, обладающих некоторым свойством. Например, мы можем искать ГМТ, сумма расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Это эллипс с двумя фокусами. Это свойство эллипса было известно еще древним грекам.
Подход Ферма к координатам
Ферма же обратил внимание на принцип: если условия, налагаемые на точку, можно выразить в виде одного уравнения с двумя неизвестными, соответствующее ГМТ будет кривой – или прямой линией, которую мы будем рассматривать как определенный тип кривой во избежание ненужных расхождений.
Он иллюстрировал этот принцип схемой, на которой две неизвестных величины A и E представлены как расстояния в двух разных направлениях.
Затем он составил несколько отдельных уравнений, связующих А и Е, и объяснил, какие кривые они представляют. Например, если А2 = 1 + Е2, то ГМТ является гиперболой.
Ферма ввел косоугольную систему координат на плоскости (косвенно подразумевая, что этот угол не обязательно должен быть прямым). Переменные А и Е – две координаты, которые мы называем x и y, для любой точки относительно данных осей. Итак, принцип Ферма убедительно утверждает, что любое уравнение с двумя переменными представляет кривую, и его примеры показывают нам, какое уравнение представляет какую кривую из перечня основных кривых, составленного греками.
Декарт
Современное представление о системе координат сложилось в трудах Декарта. В повседневной жизни мы сталкиваемся с двумерными и трехмерными пространствами, и нам нужна вся сила воображения, чтобы представить себе что-то более сложное. Наша зрительная система отображает внешний мир как двумерную картинку для каждого глаза – подобно той, что мы видим на экране телевизора. Мелкие различия в изображениях от каждого глаза наш мозг комбинирует и интерпретирует в ощущение глубины изображения, и мы получаем возможность воспринимать окружающий мир как трехмерное пространство.
