Он пошел дальше и обратился к уравнениям более высокого порядка, описывая более сложные кривые, чем те, с которыми имела дело классическая греческая геометрия. Типичным примером можно считать декартов лист, задаваемый уравнением:
которое описывает петлю с двумя концами, уходящими в бесконечность.
Пожалуй, главный вклад концепции координат проявляется именно в этом: Декарт смог уйти от греческого взгляда на кривые как на объекты, построенные с помощью особых геометрических приспособлений, и увидел в них визуальное представление любой алгебраической формулы. Как заметил в 1707 г. Исаак Ньютон, «современный подход, но намного более глубокий [чем у греков], позволяет любую линию в геометрии выразить в виде уравнения».
Более поздние ученые изобрели множество вариантов декартовой системы координат. В письме от 1643 г. Ферма рассматривает идеи Декарта и развивает их для трехмерного пространства. Он упоминает такие поверхности, как эллипсоид и параболоид, описываемые квадратными уравнениями с тремя переменными x, y, z. Важным вкладом было введение Якобом Бернулли полярных координат в 1691 г. Чтобы определять точки на плоскости, он использовал угол θ и расстояние r вместо пары осей. Теперь эти координаты стали обозначать как (r, θ).
Декартов лист
И снова уравнения соответствуют определенным кривым. Но теперь простые уравнения могут описать кривые, которые были чрезвычайно сложными в декартовых координатах. Например, r = θ описывает спираль, ту самую, что уже известна нам как архимедова.
Полярные координаты
Функции
Важнейшее применение координат в математике – метод графического представления функций.
Функция – не число, но отношение между элементами, когда изменение в одном влечет перемены в другом. Оно часто выражается в формуле, которая приписывает каждому числу, x (возможно, с предварительными ограничениями), другое число, f(x).
Например, функция квадратного корня определяется правилом f(x) = √х, т. е. извлечением квадратного корня из данного числа. Это отношение требует, чтобы x было положительным. Квадратная функция определяется уравнением f(x) = x2, на этот раз нет ограничения для х.
Архимедова спираль
Мы можем геометрически изобразить функцию, определяя координату y по заданному уравнению для x: y = f(x). Это уравнение задает отношение между двумя координатами и таким образом определяет форму кривой. Такая кривая называется графиком функции f.
КТО ИЗ БЕРНУЛЛИ ЭТО СДЕЛАЛ?
На развитие математики заметно повлияло швейцарское семейство Бернулли. На протяжении четырех поколений из него выходили выдающиеся математики, поражавшие своим талантом. Часто называемые математической мафией, Бернулли обычно начинали свою карьеру в качестве слуг закона, медицины или церкви, но рано или поздно возвращались к главному призванию – математике, на профессиональном или любительском уровне.
Якоб I (1654–1705)
Изобрел полярные координаты, формулу для радиуса кривизны плоской кривой. Изучил специальные кривые, такие как цепная линия и лемниската. Вывел доказательство, что изохрона (кривая, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки) является перевернутой циклоидой. Изучал изопериметрические фигуры, имеющие кратчайшую длину при различных условиях; позже это привело к развитию вариационного исчисления. Один из первых исследователей теории вероятностей и автор первой книги на эту тему, «Искусство предположений» («Ars conjectandi»). Якоб завещал выгравировать на своей могиле логарифмическую спираль и надпись на латыни: «Eadem mutata resurgo» («Измененная, я вновь воскресаю»).
Иоганн I (1667–1748)
Ввел новые способы счисления и распространил их в Европе. Маркиз де Лопиталь опубликовал труды Иоганна в своем первом учебнике по исчислению (точное название «Анализ бесконечно малых»). Правило Лопиталя для нахождения пределов, раскрывающих неопределенности вида 0/0, – заслуга Иоганна. Написал труды по оптике (отражение и рефракция), об ортогональных траекториях семейства кривых, длинах кривых и нахождении площадей с помощью интегрального исчисления, по аналитической тригонометрии и экспоненциальным функциям. Вычислил брахистохрону (кривую скорейшего спуска) и длину циклоиды.
Николай I (1687–1759)
Занял кафедру Галилея в Падуе. Написал труды по геометрии и дифференциальным уравнениям. Позже преподавал логику и право. Одаренный, но не слишком продуктивный математик. Вел переписку с Лейбницем, Эйлером и другими выдающимися учеными: его главное наследие – около 560 писем. Сформулировал Санкт-Петербургский парадокс в теории вероятностей.
Критиковал использование Эйлером расходящихся рядов. Способствовал посмертной публикации труда Якоба Бернулли «Искусство предположений». Поддерживал Лейбница в его противостоянии с Ньютоном.
Николай II (1695–1726)
Был приглашен преподавать в академии Санкт-Петербурга и утонул восемь месяцев спустя. Дискутировал с Даниилом по поводу Санкт-Петербургского парадокса.
Даниил (1700–1782)
Самый известный из трех сыновей Иоганна. Работал с теорией вероятностей, астрономией, физикой и гидродинамикой. Его труд «Гидродинамика» 1738 г. содержит описание закона Бернулли – связи между давлением и скоростью. Исследовал морские приливы, кинетическую теорию газов и колебание струн. Пионер в исследовании дифференциальных уравнений с частными производными.
Иоганн II (1710–1790)
Младший из трех сыновей Иоганна. Изучал право, но стал профессором математики в Базеле. Работал над математической теорией света и тепла.
