Сейчас существуют специальные высокоскоростные методы проверки таких чисел, и мы знаем о пяти ошибках Мерсенна. Его числа получаются составными, если р = 67 и 257, и есть три пропущенных им простых числа с р = 61, 89, 107. На сегодня известно 49 чисел Мерсенна. Поиски новых могут считаться хорошей проверкой новых компьютеров, но не имеют практического значения.
Диофант
Мы уже упоминали Диофанта Александрийского в связи с алгебраическими символами, но самое большое влияние на математику он оказал в области теории чисел. Он предпочитал изучать более глобальные вопросы, а не свойства отдельных чисел, хотя его ответы как раз и представляют собой отдельные числа. Например, «найдите три таких числа, чтобы их сумма, а также сумма любых двух из них являлась полным квадратом». Его ответ был 41, 80 и 320.
Для проверки: сумма всех трех 441 = 212.
Сумма каждой пары: 41 + 80 = 112, 41 + 320 = 192 и 80 + 320 = 202.
Одним из самых известных уравнений, решенных Диофантом, является любопытное изложение теоремы Пифагора. Мы можем выразить ее алгебраически: если у прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c сторона с – самая длинная, то a2 + b2 = c2. Найдено несколько особенных прямоугольных треугольников, у которых стороны – целые числа. Самым простым и известным является треугольник, у которого стороны a, b, c соответственно равны 3, 4, 5; здесь 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52. Следующий самый простой пример: 52 + 122 = 132.
Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц
На самом деле таких пифагоровых троек бесконечное множество. Диофант нашел все возможные решения с целыми числами, которые мы можем сейчас записать в виде уравнения a2 + b2 = c2. Его метод состоит в том, чтобы взять любые два целых числа и получить разницу между их квадратами, удвоить их произведение и сложить их квадраты. Три таких числа обязательно составляют пифагорову тройку, и все треугольники, полученные таким путем, обеспечат нас возможностью строить по ним другие тройки, если все три числа умножить на одинаковую константу. Например, если взять числа 1 и 2, мы получим знаменитый треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Соответственно, поскольку есть бесконечно много способов выбрать эти два числа, существует бесконечное множество пифагоровых троек.
ФермА
После Диофанта теория чисел буксовала целое тысячелетие, пока ею не заинтересовался Ферма, сделавший немало важных открытий. Одна из его самых изящных теорем говорит нам, когда данное целое число n представимо в виде суммы квадратов двух чисел: n = a2 + b2. Решение находится легко, если n – простое число.
Ферма отметил, что существует три главных вида простых чисел:
а) 2, единственное четное простое;
б) простые числа, которые больше на единицу чисел, кратных 4, такие как 5, 13, 17 и т. д., – все нечетные;
в) простые числа, которые меньше на единицу чисел, кратных 4, такие как 3, 7, 11 и т. д., – тоже нечетные.
ЧЕГО МЫ НЕ ЗНАЕМ О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
Даже в наши дни простые числа не раскрыли всех своих тайн. Две самых известных из них – проблема Гольдбаха и гипотеза о бесконечном числе простых чисел-близнецов.
Христиан Гольдбах – известный математик, состоявший в переписке с Леонардом Эйлером. В письме от 1742 г. он формулирует утверждение о том, что каждое целое число, большее 2, можно представить в виде суммы трех простых. Гольдбах считал 1 простым числом. Сейчас оно таковым не считается, потому мы должны исключить числа 3 = 1 + 1 + 1 и 4 = 2 + 1 + 1. Эйлер сделал гипотезу еще строже: каждое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых. Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 5 и т. д. Эта гипотеза подразумевает точность гипотезы Гольдбаха. Эйлер не сомневался в своей правоте, но не смог найти доказательство, и до сих пор такового нет. Проверка на компьютере показывает, что гипотеза верна для всех четных чисел вплоть до 1018. Лучший известный на сегодняшний день результат получен в 1973 г. Чэнь Цзинжунем с использованием сложных методов анализа. Он доказал, что любое достаточно большое четное число является суммой двух простых или суммой простого и полупростого числа (произведения двух простых).
Гипотеза о простых числах-близнецах намного старше и ведет свое начало со времен Евклида. Она утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел-близнецов р и р + 2. Примеры – 5 и 7 или 11 и 13. Опять-таки, у нас нет ни доказательств, ни опровержений гипотезы. В 1966 г. Чэнь доказал, что существует бесконечно много простых чисел р, для которых и р + 2 являются простыми или полупростыми. На сегодняшний день самой большой из них считается пара 2 996 863 034 895 × 21 290 000 ± 1, обнаруженная в сентябре 2016 г.
Ферма утверждал, что простое число есть сумма двух квадратов, если оно принадлежит к типу a или б, но не является суммой двух квадратов, если принадлежит к типу в. Например, 37 относится к типу б, так как его можно представить как 4 × 9 + 1, и 37 = 62 + 12 – это сумма двух квадратов. А 31 = 4 × 8–1 относится к типу в, и если вы испробуете все возможные способы выразить его как сумму двух квадратов, у вас ничего не получится. (Например, 31 = 25 + 6, где 25 – квадрат, а 6 – нет.)
Вывод таков: число является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда любой его простой делитель вида 4k – 1 имеет четную степень. Используя подобные методы, Жозеф-Луи Лагранж в 1770 г. доказал, что любое положительное целое число есть сумма четырех квадратов целых чисел (включая один или два нуля, если необходимо). Ферма еще раньше говорил об этом, но не представил доказательств.
Одно из самых влиятельных открытий Ферма одновременно оказалось самым простым. Оно известно как Малая теорема Ферма, чтобы отличать ее от Последней (иногда называемой Великой), и утверждает, что если р – любое простое число и а – любое целое число, то ар – a кратно р. Описанное свойство обычно неверно, когда р составное число, но не всегда.
На доказательство самой знаменитой теоремы Ферма ушло 350 лет. Он сформулировал ее примерно в 1640 г. и заявил, что доказал ее, однако всё, что нам известно о ней, – не более чем короткое примечание. У Ферма имелась собственная копия «Арифметики» Диофанта, вдохновившая его на большинство исследований, и он часто записывал на полях свои мысли. Судя по всему, в какой-то момент он задумался над уравнением Пифагора – сложением двух квадратов, чтобы получить тоже квадрат. Он захотел понять, что получится, если вместо квадратов поставить кубы, но не нашел решения. Та же проблема возникла и с четвертой, и с пятой, и с прочими степенями. В 1670 г. сын Ферма Самуэль опубликовал новую редакцию перевода «Арифметики» Гаспара Баше, в которую вошли и заметки на полях, сделанные Ферма.
