Пьер Ферма родился в 1601 г. во Франции, в городке Бомон-де-Ломань, в семье торговца кожами Доминика Ферма и Клэр де Лонг, дочери потомственного юриста. К 1629 г. он успел сделать ряд важных открытий в геометрии и методах исчисления, но предпочел карьеру юриста и выкупил должность королевского советника парламента (члена высшего суда) в Тулузе в 1631 г. Так он получил приставку «де» к своему имени. После эпидемии чумы, унесшей жизни многих его предшественников, он быстро сделал карьеру. Уже в 1648 г. он стал членом Палаты эдиктов, где и служил до конца жизни, достигнув в 1652 г. высшей должности – председателя уголовного суда.
Он никогда не стремился к академической карьере, но математика была его страстью. В 1653 г. он заразился чумой, и пошли слухи о его скорой смерти, но он выжил. Он вел активную переписку с другими мыслителями своего времени, особенно с математиком Пьером де Каркави и монахом Мареном Мерсенном.
Он работал в сферах механики, оптики, теории вероятностей и геометрии, а его способ определения максимума и минимума функции проложил дорогу современному дифференциальному исчислению. Он стал одним из ведущих математиков мира, но почти не публиковал свои работы, главным образом из-за нежелания тратить время на их подготовку к печати.
Самое долгое влияние на науку имела его теория чисел, где он подтолкнул многих математиков к поиску доказательств ряда теорем и решения задач. Среди них (неверно названное) уравнение Пелля nx2 + 1 = y2 и утверждение, что сумма двух кубов, не равных нулю, сама кубом быть не может. Это частное утверждение из более общей гипотезы, Последней теоремы Ферма, где кубы заменили n-й степенью для любой величины n ≥ 3.
Ферма скончался в 1665 г., через два дня после того, как вынес очередной приговор.
Одной из них стало известное утверждение, что если n ≥ 3, сумма двух чисел в степени n не может быть производным числом в степени n. В приписке на полях говорилось: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки».
Кажется маловероятным, что, даже если это доказательство существовало, оно было корректно. Первым и пока единственным стало доказательство Эндрю Уайлса, найденное в 1994 г. Оно использует сложнейшие абстрактные методы, разработанные только в ХХ в.
После Ферма многие выдающиеся математики трудились над развитием теории чисел, среди них Лагранж и Эйлер. За это время удалось найти доказательство многих из сформулированных, но не доказанных Ферма теорем.
Гаусс
Следующий важный шаг в теории чисел сделал Гаусс, опубликовавший в 1801 г. свой шедевр «Арифметические исследования». Книга сразу обеспечила теории чисел ведущую роль в математической науке. Отныне и впредь она оставалась ключевым компонентом математического мейнстрима. Гаусс в основном занимался собственными, новыми исследованиями, но также сумел заложить основы современной теории чисел и систематизировать идеи предшественников.
Одной из самых важных фундаментальных перемен была простая, но великолепная идея – модульная арифметика. Гаусс открыл новый вид числовой системы, аналогичный целым числам, но отличный в одном важном аспекте: некое определенное число, или модуль, было отождествлено с числом 0. Эта любопытная идея оказалась фундаментальной для нашего понимания свойств делимости обычных целых чисел.
Вот как выглядит идея Гаусса. Для целого числа m числа a и b сравнимы по модулю m, обозначенному так:
если разница a − b делится на m без остатка. Тогда арифметика по модулю m работает точно так же, как простая арифметика, но теперь мы можем заменить m на 0 на любом этапе вычислений. А значит, любое умножение на число m можно игнорировать.
Чтобы передать дух идеи Гаусса, часто прибегают к выражению «арифметика часов». На часах число 12 можно считать эквивалентным 0, поскольку каждые 12 часов их значения повторяются (для континентальной Европы или военных более привычны 24 часа). Семь часов после шести часов будут обозначаться не 13, а 1 час, и по системе Гаусса 13 ≡ 1 (mod 12). Модульная арифметика подобна часам, для которых потребуется m часов на прохождение полного круга. Ничего удивительного, что модульная арифметика позволяет исследовать любые объекты, которые меняются по повторяющимся циклам.
«Арифметические исследования» используют модульную арифметику как основу для более глубоких идей, о трех из которых мы упомянем в этой книге.
Значительная ее часть описывает дальнейшее развитие наблюдений Ферма о том, что простые числа вида 4k + 1 являются суммой двух квадратов, а простые числа вида 4k − 1 – нет. Гаусс подтвердил этот результат как свойство целых чисел, которые можно записать в виде x2 + y2, где и x, и y – целые числа. Затем он спрашивает, что получится, если вместо этой формулы мы используем общую квадратичную форму: ax2 + bxy + cy2? Его теоремы слишком сложны для того, чтобы обсуждать их здесь, но дают практически полное понимание этого вопроса.
Следующая тема – закон квадратичной взаимности, завороживший и лишивший Гаусса покоя на долгие годы. Отправной точкой стал простой вопрос: как выглядят полные квадраты чисел по заданному модулю? Предположим, что модуль равен 11. Тогда получается последовательность квадратов (для чисел меньше 11):
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100,
откуда, уменьшая (по mod 11), получаем:
где каждое число, не равное 0, появляется дважды. Эти числа и есть квадратичные вычеты по модулю 11.
КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС 1777−1855
Гаусс был очень развитым ребенком, даже исправлял арифметические ошибки отца. В 1792 г. на стипендию, положенную ему герцогом Брауншвейгским, Гаусс поступил учиться в престижный Каролинум-колледж. Там он сделал несколько важных математических открытий, в их числе квадратичный закон взаимности и теорема о простых числах, но не сумел их доказать. С 1795 по 1798 г. он обучался в Гёттингене, где нашел способ построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. Его «Арифметические исследования», один из важнейших трудов по теории чисел, увидели свет в 1801 г.
