Чтобы расшифровать сообщение, Бобу необходимо знать b, удовлетворяющее условию ab ≡ 1 mod K. Это число (которое существует и уникально) держится в тайне. Чтобы расшифровать y, Боб вычисляет:
yb (mod M).
Почему это можно дешифровать? Потому что
yb ≡ (xa)b ≡ xab ≡ x1 ≡ x (mod M),
согласно обобщению Малой теоремы Ферма, сделанному Эйлером.
Этот метод вполне практичен, поскольку существуют эффективные тесты для поиска больших простых чисел. Но пока нет действенного способа искать простые множители для больших чисел. А значит, даже зная произведение pq, посторонний не сможет вычислить p и q, а без этого невозможно найти значение b – ключ ко всему шифру.
Ситуация кардинально изменилась, когда за дело взялся Гаусс и открыл общие концептуальные основы теории чисел, такие как модульная арифметика. Также своими исследованиями свойств правильных многоугольников он связал теорию чисел с геометрией. С этого момента теория чисел превратилась в заметную нить на пестром ковре математики.
Интуиция Гаусса привела математиков к открытию принципиально новых структур – новых числовых систем, таких как целые числа по mod n, а также математических действий, таких как композиция квадратичных форм. Благодаря новым открытиям теория чисел конца XVIII – начала XIX в. породила абстрактную алгебру конца XIX – начала XX в. Математики уже не боялись выходить за рамки привычных концепций и структур в своих исследованиях. Несмотря на узкоспециализированную тему, «Арифметические исследования» стали значительной вехой на пути создания современного подхода к математике в целом. И это одна из причин, почему математики так высоко оценивают роль Гаусса.
Вплоть до конца XX в. теория чисел пребывала в рамках чистой математики – любопытная сама по себе, с многочисленными способами приложения к собственно математическим исследованиям. Но она всё еще не играла особой роли для остального мира. Однако всё изменилось с момента изобретения цифровой связи в конце XX в. Как только она стала полностью зависеть от чисел, теория чисел предсказуемо оказалась на переднем крае. Чтобы хорошая математическая идея обрела практическое значение, могут уйти годы – а иногда даже сотни лет, – но рано или поздно любая область, некогда считавшаяся важной только среди математиков, находит дорогу в реальный мир и занимает там подобающее ей место.
Глава 8. Система мира
Изобретение исчисления
Самым значительным прорывом в истории математики можно считать исчисление, независимо открытое примерно в 1680 г. Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем. Лейбниц первым опубликовал свой труд, но Ньютон – подталкиваемый патриотично настроенными друзьями – заявил о своем первенстве и обвинил Лейбница в плагиате. Этот конфликт почти на 100 лет разорвал связи между английскими математиками и учеными с континента, и в итоге в проигрыше оказались англичане.
Система мира
Хотя Лейбниц скорее мог бы претендовать на первенство в открытии исчисления, Ньютон превратил его в главную технику зарождающейся отрасли науки – классической физики, позже ставшей главным инструментом в познании человечеством мира природы. Сам Ньютон назвал свою теорию «Система мира». Пожалуй, звучит не очень скромно, зато точно определяет предмет. До Ньютона представления людей о законах природы в основном исходили из идей Галилея о движении тел, в частности параболической траектории полета пушечного ядра, а также открытой Кеплером эллиптической формы орбиты Марса в небесах. После Ньютона математические формулы пронизали почти все области физического мира: движение земных и небесных тел, потока воздуха и воды, передачи тепла, света, звука, силу тяготения.
Тем более любопытно, что в главном опубликованном Ньютоном труде, «Математические начала натуральной философии», исчисление не упоминается вообще. Он посвящен изящному применению геометрии в стиле, заданном древними греками. Но внешность порой обманчива: неопубликованные документы, известные как «Портсмутские бумаги», доказывают, что во время работы над «Началами» Ньютон сформировал представление об идее исчисления. Очень похоже, что ученый использовал методы исчисления в большинстве своих открытий, однако предпочел не распространяться о них. Его наработки были опубликованы уже после его смерти, в книге «Метод флюксий и бесконечных рядов», в 1732 г.
Исчисление
Что такое исчисление? Метод, изобретенный Ньютоном и Лейбницем, проще понять, ознакомившись с более ранними идеями. Исчисление – это математика мгновенных изменений: насколько быстро изменяется определенная величина в это самое мгновение. Вот пример из физики: поезд движется по рельсам; как быстро он едет прямо сейчас? Исчисление делится на две главные ветви. Дифференциальное исчисление обеспечивает методы измерения скорости изменений и в большинстве случаев приложимо к геометрии, в частности при нахождении касательных к кривым. Интегральное исчисление подразумевает противоположное действие: исходя из скорости изменения некой величины, оно позволяет найти саму величину. Геометрические приложения интегрального исчисления включают способы вычисления площадей и объемов. Пожалуй, самым значительным открытием как раз и стала эта неожиданная связь между двумя внешне независимыми геометрическими вопросами: нахождение касательных к кривым и нахождение площадей.
Геометрический смысл производной
Исчисление неразрывно связано с функциями – действиями, когда берется некое исходное число и определяется другое, связанное с ним. Как правило, такое действие описывается формулой, где данному числу, обозначенному как x (возможно, с некими дополнительными условиями), вводится в соответствие число f(x). В качестве примеров можно привести функцию квадратного корня f(x) = √x (в этом случае x должно быть неотрицательным числом) и квадратную функцию f(x) = x2 (в этом случае для x нет никаких условий).
Первой ключевой идеей исчисления является дифференцирование, т. е. взятие производной функции. Производная – это скорость изменения функции f(x), сравниваемая с изменением x, т. е. скорость изменения f(x) относительно x.
Геометрически скорость изменения – это тангенс угла наклона графика f в точке х. К нему можно приблизиться, определив угол наклона секущей – линии, пересекающей график в двух наиболее близких точках, соответствующих x, и x + h, где h невелико. Угол наклона секущей равен:
