Неожиданным следствием оказалась зависимость между площадью треугольника и суммой его углов. Точнее, то, что площадь пропорциональна разнице между реальной суммой углов и 180°. Это казалось многообещающим: если бы он мог построить треугольник, у которого стороны вдвое больше, чем у исходного, то столкнулся бы c противоречием, потому что площадь большего треугольника не может быть равной площади меньшего. Тем не менее он попытался построить больший треугольник и снова уперся в пятый постулат.
Однако ученый всё же извлек из своего опыта кое-что полезное. Безотносительно пятого постулата он доказал, что некоторые треугольники не могут иметь сумму углов больше 180°, а другие имеют сумму углов меньше 180°. Если один треугольник имеет углы, которые в сумме дают больше, чем 180°, то таким же свойством обладали бы и все треугольники; аналогично было бы при сумме меньше 180°. Значит, есть три возможных варианта:
• сумма углов в любом треугольнике равна 180° (по евклидовой геометрии);
• сумма углов в любом треугольнике меньше 180°;
• сумма углов в любом треугольнике больше 180° (случай, который Лежандр вроде бы исключил; позже выяснилось, что для этого он воспользовался очередным недоказанным утверждением).
Саккери
В 1773 г. Джироламо Саккери, иезуитский священник из Павии, опубликовал своей героический труд «Евклид, очищенный от всех пятен» («Euclides ab omni naevo vindicatus»). Он также пришел к трем возможным вариантам, из которых первый соответствовал евклидовой геометрии, но для объяснения различий использовал четырехугольник. Предположим, у нас есть четырехугольник ABCD, где A и B – прямые углы, а AC = BD. Тогда, по утверждению Саккери, в евклидовой геометрии выходит, что C и D – прямые углы. Менее очевидно, если C и D будут прямыми углами в любом подобного вида четырехугольнике и что отсюда будет вытекать пятый постулат.
Не прибегая к пятому постулату, Саккери доказал, что углы C и D равны. Остается два возможных варианта:
• гипотеза для тупых углов: C и D больше прямого угла;
• гипотеза для острых углов: C и D меньше прямого угла.
Идея Саккери состояла в рассмотрении каждой из этих гипотез по отдельности, чтобы возникло логическое противоречие. Тогда евклидова геометрия оставалась единственной логически возможной.
Четырехугольник Саккери: сторона CD нарочно сделана кривой, чтобы избежать евклидовых заключений об углах C и D
Ученый начал с гипотезы для тупых углов и через ряд теорем вывел – как ему казалось, – что углы C и D должны в конце концов оказаться прямыми. Это противоречие, а значит, гипотеза для тупых углов ошибочна. Затем Саккери перешел к острым углам, что потребовало нового ряда теорем, причем все они были верны и любопытны сами по себе. Попутно ученый доказал довольно сложную теорему о семействе линий, проходящих через одну общую точку, в которой говорилось, что две из этих линий будут иметь общий перпендикуляр в бесконечности. На самом деле это не противоречие, хотя Саккери думал именно так и объявил гипотезу для острых углов также опровергнутой.
Оставался единственный вариант – с геометрией Евклида, и Саккери счел свою задачу выполненной. Но другие ученые заметили, что на самом деле никакого противоречия из гипотезы для острого угла не было, появилась лишь очередная удивительная теорема. И к 1759 г. д’Аламбер объявил статус пятого постулата: «скандал с началами геометрии».
ЧТО НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ ДАЛА ИМ
К 1813 г. Гаусс успел окончательно убедиться, что антиевклидова, затем астральная и, наконец, неевклидова геометрия логически возможны. Он задался вопросом, что тогда можно считать истинной геометрией пространства, и измерил углы треугольника, образованного тремя горами в Нижней Саксонии: Броккен, Хохехаген и Инзельберг. Чтобы результаты не искажались кривизной Земли, в измерениях он использовал местную плоскость горизонта. Сумма измеренных им углов оказалась на 15 угловых секунд больше 180°. По всему выходило, что это тупой угол, но возможность ошибки в наблюдениях сводила на нет всю ценность опыта. Гауссу требовался гораздо больший треугольник и более точные инструменты для измерения углов.
Ламберт
Немецкий математик Георг Клюгель прочел книгу Саккери и выразил новаторское и даже несколько шокирующее мнение, что убежденность в правоте пятого постулата относится скорее к области опыта, чем логики. Он утверждал, что некая особенность нашего образа мышления и представления о пространстве заставляет нас верить в существование параллельных линий со свойствами, которые описал Евклид.
В 1776 г. Иоганн Ламберт, следуя предположению Клюгеля, занялся исследованиями, похожими на работу Саккери, но он начал с четырехугольника с тремя прямыми углами. Четвертый угол у него мог быть или прямым (евклидова геометрия), или тупым, или острым. Как и Саккери, он предположил, что тупой угол приводит к противоречию. Точнее, он решил, что это приводит к сферической геометрии, где давно известно, что сумма углов четырехугольника больше 360°, поскольку сумма углов треугольника больше 180°. Раз сфера – это не плоскость, вариант с тупым углом исключался.
Однако Ламберт ничего подобного не утверждал для острого угла. Зато он доказал ряд любопытных теорем, однако самой блестящей оказалась выведенная им формула вычисления площади многоугольника с n сторонами. Сложите все углы и вычтите их из суммы 2n – 4 прямых углов: результат окажется пропорциональным площади многоугольника. Эта формула напомнила Ламберту похожую из сферической геометрии: сложите все углы и вычтите 2n – 4 прямых угла: результат снова окажется пропорциональным площади многоугольника. Разница несущественна: вычитание выполняется в обратном порядке. Ученый подошел вплотную к неясному, но пророческому утверждению: геометрия острого угла такая же, как у сферы с мнимым радиусом.
Ламберт тут же написал короткую статью о тригонометрических функциях мнимых углов, выведя несколько изящных и идеально согласующихся формул. Теперь мы признаём эти функции: это так называемые гиперболические функции, которые можно вычислить, не прибегая к мнимым числам, и они удовлетворяют всем формулам Ламберта. Было очевидно, что за его неожиданным, загадочным предположением кроется что-то интересное. Но что?
Дилемма Гаусса
К определенному моменту у наиболее информированных геометров сложилось твердое убеждение в том, что пятый постулат Евклида не может быть доказан с помощью остальных аксиом. Случай с острым углом оказался слишком логичным, чтобы привести к противоречию. С другой стороны, сфера с мнимым радиусом тоже не выглядела достаточно солидно, чтобы подкрепить это убеждение.
