ЧТО НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ ДАЕТ НАМ
Какова форма Вселенной? Вопрос может показаться простым, но ответить на него нелегко – отчасти из-за огромности Вселенной, но главным образом из-за того, что мы внутри и не имеем возможности кинуть взгляд со стороны. По аналогии, снова восходящей к Гауссу, муравей, живущий на некой поверхности и созерцающий мир только с нее, не сумеет уверенно сказать, является ли она плоскостью, сферой, тором или еще более сложной фигурой.
Теория относительности говорит нам, что вблизи от материального тела, такого как звезда, пространство-время искривляется. Уравнения Эйнштейна, демонстрирующие зависимость кривизны от плотности материи, имеют много разных решений. В самом простом из них Вселенная в целом имеет положительную кривизну и топологию сферы. Но, насколько мы можем судить, общая кривизна реально существующей Вселенной бывает и отрицательной.
Пространства с положительной, отрицательной и нулевой кривизной
Мы даже не уверены, простирается ли Вселенная бесконечно, как евклидово пространство, или имеет конечный размер, как сфера. Некоторые физики настаивают, что Вселенная бесконечна, однако экспериментальная основа этой идеи вызывает много вопросов. И большинство все-таки считает ее размеры конечными.
Удивительно, что конечная Вселенная может существовать, не имея границы. Это справедливо для двумерной поверхности сферы и для тора. Тор может быть описан плоскостной геометрией (планиметрией), ведь он наследник прямоугольника, у которого склеены противоположные стороны. Топологи также открыли, что пространство может быть конечным и в то же время иметь отрицательную кривизну. Один из способов построения такого пространства: берем конечный многогранник в гиперболическом пространстве и отождествляем различные его грани, так что линия, выходящая из одной грани многогранника, тут же входит в другую грань. Эта конструкция напоминает то, как меняются местами верхний и нижний края экрана во многих компьютерных играх.
Чтобы получить додекаэдрическое пространство Пуанкаре, нужно склеить противоположные грани додекаэдра с разворотом, чтобы они совпали
Если пространство конечно, должна быть возможность наблюдать одну и ту же звезду в разных направлениях, хотя в некоторых направлениях она может показаться более далекой, чем в других, и, кроме того, доступный для наблюдений сектор Вселенной может оказаться слишком мал для этого. Если конечное пространство имеет гиперболическую геометрию, это множит местонахождение одних и тех же звезд в разных направлениях, создавая в небесах систему гигантских окружностей, причем геометрия последних будет определять, какое именно гиперболическое пространство мы наблюдаем. Но окружности могут оказаться где угодно среди миллиардов звезд, видимых наблюдателю, т. е. попытки разглядывать их, основанные на статистической корреляции между кажущимися позициями звезд, будут безрезультатными.
В 2003 г. данные, полученные с космического аппарата НАСА Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, позволили команде Жана-Пьера Люмине предположить, что пространство конечно, но имеет положительную кривизну. Они обнаружили, что додекаэдрическое пространство Пуанкаре – полученное путем отождествления противоположных граней искривленного додекаэдра – лучше всего согласуется с наблюдениями. Это предположение дошло до широкой публики как утверждение о том, что Вселенная имеет форму футбольного мяча. Однако это предположение не подтверждено, и мы по-прежнему не знаем, какова истинная форма Вселенной. Но по крайней мере у нас уже есть гораздо более полное представление о том, что нужно сделать, чтобы решить эту загадку.
Вопрос перестал быть риторическим с тех пор, как начали появляться логически обоснованные альтернативы геометрии Евклида. Да, потребовалось немалое время, чтобы убедиться в их логической состоятельности – по крайней мере, не менее логической, чем евклидова геометрия, – и еще большее, чтобы осознать, что наше физическое пространство может оказаться вовсе не евклидовым. Как всегда, отрицательную роль сыграла узость взглядов: мы упорно пытаемся распространить ограниченное понимание нашего крошечного уголка на Вселенную в целом. Привычка пользоваться моделью Евклида делает нас предвзятыми, возможно потому, что в жестких рамках нашего опыта эта модель кажется самой простой и превосходно удовлетворяет наши запросы.
Благодаря отдельным ученым, наделенным богатым воображением и неординарным мышлением, часто подвергавшимся гонениям со стороны менее талантливых собратьев, наконец-то мы пришли к пониманию – по крайней мере, математики и физики, – что существует много альтернатив евклидовой геометрии и что природа физического пространства – предмет наблюдений, а не только мышления. Мы уже четко проводим границу между математическими моделями реальности и реальностью как таковой. Если уж на то пошло, многие математические построения вообще не имеют очевидного отношения к реальности – но это нисколько не умаляет их пользы.
Глава 13. Расцвет симметрии
Как не решить уравнение
Около 1850 математиков подготовили самые значительные перемены в истории науки, хотя это не всегда было очевидно их современникам. Вплоть до 1800 г. главными объектами математических исследований были понятия вполне конкретные: числа, треугольники, сферы. Алгебра предложила формулы для описания операций с числами, но сами по себе формулы воспринимались как символические описания неких процессов, а не просто объектов. Но к 1900 г. формулы и их преобразования стали восприниматься как объекты, а не процессы, и предметом алгебры стали более абстрактные и обобщенные понятия. Она стала почти всеобъемлющей. Даже такие основные законы, как коммутативный закон умножения ab = ba, заняли важное место во многих областях математики.
Теория групп
Эти перемены стали возможны во многом благодаря тому, что математики открыли теорию групп – раздел алгебры, который возник из безуспешных попыток решать алгебраические уравнения, особенно четвертой или пятой степени. Но только через 50 лет после своего открытия теория групп была оценена как верный подход для изучения концепции симметрии. По мере того как новый метод занимал место в общественном сознании, становилось ясно, что симметрия – глубокая и важная идея, со множеством приложений как к физическим, так и к биологическим исследованиям. Сегодня теория групп стала незаменимым инструментом в любой области математики и науки в целом, а ее связь с симметрий подчеркивается в большинстве предисловий научных трудов. Но потребовалось не одно десятилетие, чтобы эта точка зрения восторжествовала. Примерно в 1900 г. Анри Пуанкаре сказал, что теория групп представляет собой всю математику, самую ее суть. Несколько преувеличенное, но верное утверждение.
