Французская революция началась со взятия Бастилии в 1789 г. и казни Людовика XVI в 1793 г. К 1804 г. Наполеон Бонапарт провозгласил себя императором, но после серии военных неудач был вынужден отречься от престола. Монархия возродилась только в 1814 г., при Людовике XVIII. В 1824 г. он скончался, и на престол сел Карл Х.
В 1827 г. Галуа продемонстрировал свой несравненный талант – подкрепленный ярым увлечением – к математическим исследованиям. Он попытался поступить в престижную Политехническую школу, но не прошел экзамен. В 1829 г. его отец, в то время мэр города, повесился из-за скандала по ложному обвинению, раздутого его политическими врагами. Вскоре после этого Галуа повторил попытку поступить в Политехническую школу и снова потерпел неудачу. Он обучался в Высшей нормальной школе.
В 1830 г. Галуа предоставил свои исследования по решению алгебраических уравнений на конкурс, объявленный Академией наук. Председатель жюри Фурье скоропостижно скончался, бумаги были утеряны. Награда досталась Абелю (к тому времени он уже умер от туберкулеза) и Карлу Якоби. В том же году Карл Х был низложен и вынужденно сбежал, чтобы спасти свою жизнь. Директор Высшей нормальной школы запер студентов в аудитории, чтобы помешать их участию в беспорядках. Галуа в приступе ярости написал злобное письмо, обвинив директора в малодушии, и был немедленно изгнан из школы.
Компромиссной фигурой в политической борьбе стал король Луи-Филипп. Галуа вступил в республиканское ополчение, артиллерию Национальной гвардии, но новый король ее распустил. Девятнадцать офицеров артиллерийской части были арестованы за подстрекательство к мятежу, но революционно настроенный суд снял все обвинения, и гвардейцы решили отметить освобождение праздничным обедом. Там Галуа произнес ироничный тост за короля, стоя с ножом в руке. Его арестовали, но оправдали, потому что (с его слов) тост звучал как «За Луи-Филиппа, если он не изменник», и не содержал угрозы в его адрес. Однако в День взятия Бастилии Галуа снова заключили под стражу за ношение отныне запрещенной формы Национальной гвардии.
В тюрьме ему стала известна судьба его научного труда. Пуассон даже не рассмотрел его из-за недостаточной ясности изложения. Галуа попытался наложить на себя руки, но его остановили соседи по камере. Его ненависть к любым официальным лицам стала неукротимой, налицо явные признаки паранойи. Однако из-за эпидемии холеры всех заключенных выпустили на свободу.
Отрывок манускрипта, написанного рукой Галуа
В это время Галуа влюбился в некую особу, чье имя долгие годы оставалось тайной. Наконец удалось выяснить, что ее звали Стефани дю Мотель, она была дочерью лечащего врача Галуа. Ничего хорошего из этого не вышло, и Стефани ушла. Один из соратников-революционеров вызвал Галуа на дуэль – вероятно, из-за Стефани. Наиболее приемлемой версией считается история Тони Ротмана: согласно ей, противником Галуа стал Эрнест Дюшатле, сидевший с ним в одной камере. Судя по всему, дуэль оказалась разновидностью русской рулетки, когда участники выбирают из двух пистолетов, из которых заряжен только один, и обмениваются выстрелами у барьера. Галуа выбрал несчастливый пистолет, получил пулю в живот и скончался на следующий день.
Ночью накануне дуэли он написал длинное изложение своих математических идей, в том числе и доказательство невозможности решения в радикалах уравнений пятой степени и выше. В этой работе он развил концепцию группы перестановок и сделал первые важные шаги в исследовании теории групп. Его бумаги едва не затерялись, но всё же попали в руки члена Академии Жозефа Лиувилля. В 1843 г. тот выступил перед членами Академии с сообщением о том, что в бумагах Галуа «я обнаружил решение, точность которого не уступает его глубине, такой замечательной задачи: узнать, существует или не существует решение в радикалах…»
[6]. Лиувилль опубликовал бумаги Галуа в 1846 г., сделав их наконец достоянием научного сообщества.
ЧТО ТЕОРИЯ ГРУПП ДАЛА ИМ
Одним из первых серьезных практических приложений теории групп стала классификация всех возможных кристаллических структур. В кристаллах атомы образуют правильную трехмерную решетку, и главной задачей математики стало выявление всех возможных групп симметрии в ней, потому что это эффективное формирование симметрии кристалла.
В 1891 г. Евграф Федоров и Артур Шенфлис доказали, что существует ровно 230 отдельных кристаллографических пространственных групп. Похожий, но незавершенный список составил и Уильям Барлоу.
Современные методики определения структуры биологических молекул, таких как протеины, основаны на прохождении рентгеновских лучей через их кристаллическую решетку и наблюдении полученной дифракционной картинки. Симметрии кристалла очень важны для определения формы исследуемой молекулы. Так же важен анализ Фурье.
Дополнительным преимуществом идей Галуа стало открытие, что уравнение пятой степени не может быть решено в радикалах, поскольку обладает неправильной симметрией. Группа общего уравнения пятого порядка состоит из всех возможных перестановок для всех его пяти корней. Алгебраическая структура этой группы противоречит решению в радикалах.
Галуа работал и во многих других областях математики, добившись не менее впечатляющих открытий. В частности, он обобщил модульную арифметику и получил то, что мы сейчас называем полями Галуа. Это конечные системы, в которых могут быть определены арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) и для которых применимы все обычные законы. Размер поля Галуа – всегда степень простого числа, и существует только одно такое поле для каждой простой степени.
ЖордАн
В чистой форме концепция групп впервые появилась в работе Галуа, хотя и раньше намеки на нее мелькали как в эпических трудах Руффини, так и в элегантных построениях Лагранжа. На протяжении того десятилетия, когда благодаря Лиувиллю идеи Галуа получили широкое распространение, в математике появилась хорошо развитая теория групп. Главным архитектором теории считается Камиль Жордан, чей труд на 667 страницах «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» был опубликован в 1870 г. Жордан развил всю тему систематически и всеобъемлюще.
Увлечение Жордана теорией групп началось в 1867 г., когда он продемонстрировал ее связь с геометрией явным образом, классифицировав основные виды движения твердого тела в евклидовом пространстве. А главное, он предпринял очень плодотворную попытку объяснить, как эти виды движения могуть быть объединены в группы. Главным его мотиватором стала работа Огюста Браве по кристаллографии, инициировавшего математическое изучение кристаллической симметрии, особенно лежащей в основе атомной решетки. Работа Жордана обобщила труды Браве. Он объявил о своей классификации в 1867 г. и опубликовал детали в 1868–1869 гг.
