Технически Жордан работал только с замкнутыми группами, в которых любая конечная последовательность движений внутри группы также является движением в той же группе. Это относится ко всем конечным группам по очевидным причинам, а также к группам, которые подобны всем поворотам окружности вокруг ее центра. Типичным примером незамкнутой группы, не рассмотренной Жорданом, могут служить все повороты окружности вокруг ее центра на углы, кратные рациональному углу 360°/n. Эта группа существует, но не удовлетворяет свойству конечности (потому что, например, она не может включать в себя повороты на 360 × √2 градуса, поскольку √2 – не рациональное число). Незамкнутые группы движений невероятно разнообразны и практически не подлежат разумной классификации. В отличие от них замкнутые, хотя и с трудом, поддаются описанию.
Основные движения на плоскости – параллельные переносы, вращения, отражения и зеркальные отражения. В трехмерном пространстве мы также отмечаем винтовые движения, как у штопора: объект передвигается вдоль фиксированной оси и одновременно вращается вокруг нее же.
Жордан начал с группы параллельных переносов и перечислил десять видов: все сочетания непрерывных параллельных переносов (на любое расстояние) в некотором направлении и дискретных переносов (с целочисленными кратными) от фиксированного расстояния в прочих направлениях. Также он перечислил главные конечные группы для вращений и отражений: циклическая, диэдральная, тетраэдральная, октаэдральная и икосаэдральная. Он выделил группу O(2) всех вращений и отражений, которая сохраняет фиксированную линию в пространстве – ось, и группу O(3) всех вращений и отражений, которая сохраняет фиксированную точку в пространстве и точку пересечения осей.
Позже стало ясно, что список неполон. Например, в нем нет некоторых трудноуловимых кристаллографических групп в трехмерном пространстве. Однако работа стала значительным шагом к пониманию перемещений фигур, сохраняющих их неизменными в евклидовом пространстве, что крайне важно для механики, а равно и для чистой математики.
Книга Жордана получилась действительно огромной. Она начинается с модульной арифметики и полей Галуа, которые наряду с примерами групп служат логическим фундаментом всех дальнейших идей. Средняя часть посвящена группам перестановок, которые Жордан называл подстановками. Он определяет основные идеи о нормальных подгруппах, которые Галуа использовал для демонстрации, что группа симметрии уравнения пятого порядка несовместима с решением в радикалах, и доказывает, что эти подгруппы можно использовать для деления общей группы на более простые части. Он доказывает, что величина этих частей не зависит от того, как именно поделили группу. В 1889 г. Отто Гёльдер развил этот результат, проинтерпретировав части в самостоятельные группы и доказав, что не только их размер, но и структура не зависят от того, как поделили группу. Сегодня этот результат известен как теорема Жордана – Гёльдера.
Группа считается простой, если не делится таким образом. Теорема Жордана – Гёльдера однозначно утверждает, что простые группы соотносятся с общими точно так же, как атомы с молекулами в химии. Простые группы – атомные составляющие всех групп. Жордан доказал, что знакопеременная группа An, содержащая все перестановки из n символов, в которой символы попарно переставлены четное число раз, будет простой, если n ≥ 5. Это и есть главная причина, по которой теоретики групп уверены, что уравнение пятой степени не решается в радикалах.
Главным достижением стала теория линейных подстановок Жордана. Здесь преобразования, производимые с группой, не являются перестановками конечного множества: это линейные изменения для конечного списка переменных. Например, три переменные x, y, z можно преобразовать в новые переменные X, Y, Z с помощью линейных уравнений:
X = a1 x + a2 y + a3 z,
Y = b1 x + b2 y + b3 z,
Z = c1 x + c2 у + c3 z,
где a, b и с с нижними индексами – константы. Чтобы сделать группу конечной, Жордан обычно брал их так, чтобы они являлись элементами поля целых чисел по модулю некоторого простого числа, или, в общем случае, поля Галуа.
Также в 1869 г. Жордан развил свою версию теории Галуа и включил ее в свой трактат. Он доказал, что уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда разрешима сама эта группа. Это означает, что все ее элементарные компоненты имеют простой порядок. Жордан применил теорию Галуа к геометрическим задачам.
Симметрия
Четырехтысячелетний поиск решения прекратился, когда Руффини, Абель и Галуа доказали, что решение в радикалах невозможно. И хотя результат оказался отрицательным, сам факт исследования серьезно повлиял на дальнейшее развитие и математики, и науки в целом. Это стало возможно благодаря тому, что метод, использованный для доказательства невозможности, оказался центральным в математическом понимании симметрии, а та, в свою очередь, стала неотъемлемой частью математики и науки вообще.
ЧТО ТЕОРИЯ ГРУПП ДАЕТ НАМ
В наше время теория групп неразрывно связана с математикой и широко применяется в науке. В частности, она появляется в теории формирования узоров в самых разных отраслях науки. Одним из примеров такого использования может быть реакционно-диффузная модель, предложенная Аланом Тьюрингом в 1952 г. как одно из возможных объяснений появления симметричных пятен на шкурах животных. В уравнениях модели набор химических веществ может создать диффузию в некоторой области пространства, и эти вещества также вступают в реакции, производя новые. Тьюринг предположил, что некоторые из этих процессов могли быть заложены как образец узора в развивающемся зародыше, что позже может выразиться в образовании пигментов и пятен на шкуре взрослой особи.
Для простоты предположим, что эта область является плоскостью. Тогда уравнения будут симметричными для всех обычных движений. Единственное решение уравнений (которое симметрично для всех этих движений) однородно, одинаково везде. Для животного это означает, что у него не будет каких-то особых отметин, везде один цвет. Однако однородность может оказаться нестабильной, и в таком случае конечное видимое решение будет симметричным для некоторых движений, но не для всех остальных. Этот процесс называется деформацией, нарушающей симметрию.
Математическая модель и рыба: и там, и там узоры Тьюринга
