Типичный узор, нарушающий симметрию на плоскости, состоит из параллельных полос. Еще один – повторяющиеся наборы пятен. Возможны и более сложные. Любопытно, что полосы и пятна – типичные узоры на шкурах животных. Хотя истинный биологический процесс, включающий генетические эффекты, намного сложнее построений Тьюринга, лежащий в его основе механизм нарушения симметрии должен быть очень близок к математической модели.
Последствия этого трудно переоценить. Теория групп привела к более абстрактному взгляду на алгебру и заодно на математику. Хотя много ученых-практиков поначалу активно противостояли этому, в итоге стало очевидно, что абстрактные методы зачастую более эффективны, чем конкретные, и противодействие исчезло само по себе. Теория групп также научила исследователей ценить отрицательные результаты и понимать, что упорные поиски доказательств иногда приводят к грандиозным открытиям. Представьте себе, что было бы, если бы математики просто приняли на веру, что уравнения пятой степени не решаются, не потрудившись найти доказательства. Тогда не появилась бы на свет теория групп, объясняющая, почему их нельзя решить. Выбери математики этот путь, смирись с невозможностью решений – и сама математика, и наука в целом были бы бледным подобием того, что есть сейчас.
Вот почему математикам всегда так важно доказательство.
Глава 14. Взросление алгебры
Числа прокладывают путь структурам
К 1860 г. теория групп перестановок была уже хорошо развита. Теория инвариантов – алгебраических выражений, которые не меняются, когда происходят некие изменения с переменными, – привлекла внимание к различным бесконечным множествам преобразований, таким как проективная группа всех проекций пространства. В 1868 г. Камиль Жордан изучал группы движений в трехмерном пространстве, и в ходе его исследований два направления слились в одно.
Изощренные концепции
Начала появляться новая алгебра, для которой объектами изучения стали не неизвестные числа, а более изощренные концепции: перестановки, преобразования, матрицы. Прошлогодние процессы с наступлением нового года уходили «в архив». Правила алгебры, долгое время остававшиеся незыблемыми, всё чаще нуждались в изменении, чтобы удовлетворить нужды новых структур. Наряду с группами математики взялись за изучение структур так называемых колец и полей, не говоря уже о разных новых видах алгебр.
Стимулы для этого изменения взгляда на алгебры пришли из уравнений в частных производных, механики и геометрии. Это обусловило развитие групп Ли и алгебры Ли. Другим источником вдохновения была теория чисел: здесь алгебраические числа можно было использовать для решения диофантовых уравнений, понимания законов взаимности и даже атак на Великую теорему Ферма. И кульминацией всего происходящего стало доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом в 1995 г.
Ли и Клейн
В 1869 г. норвежский математик Софус Ли подружился с немецким математиком Клейном. Они оба интересовались линейной геометрией – ответвлением проективной геометрии, открытым Юлиусом Плюккером. Ли высказал очень оригинальную идею: мол, теория Галуа для алгебраических уравнений должна иметь аналог для дифференциальных уравнений. Алгебраическое уравнение может быть решено в радикалах, только если обладает необходимыми свойствами симметрии, – это так называемая разрешимая группа Галуа. Ли предположил, что и дифференциальное уравнение может быть решено классическими способами, только если оно остается неизменным в непрерывном семействе преобразований. Ли и Клейн работали над вариантами этой идеи в 1869–1870 гг. Кульминацией стало описание геометрии через инварианты групп, данное Клейном в 1872 г. в его «Эрлангенской программе».
Она стала результатом нового подхода к евклидовой геометрии – с точки зрения симметрии. Жордан уже указал, что симметрии евклидовой плоскости представлены разного рода движениями без деформации тела: переносом, когда плоскость скользит в каком-то направлении; вращениями, которые поворачивают ее вокруг некой фиксированной точки; отражениями, которые переворачивают ее вокруг неподвижной линии, и, что менее очевидно, зеркальными отражениями, которые отражают и затем переносят ее в направлении, перпендикулярном линии зеркала. Эти преобразования образуют евклидову группу, и они жесткие – в том смысле, что они не меняют расстояния между точками. Соответственно, они не меняют и углы. Теперь длины и углы являются основными понятиями евклидовой геометрии. И Клейн понял, что это и есть инварианты для евклидовой группы: величины, которые не меняются, когда группа подвергается преобразованию.
Клейн родился в Дюссельдорфе в элитарной семье: его отец был секретарем главы прусского правительства. Он собирался стать физиком и отправился учиться в Университет Бонна, но устроился подрабатывать в лаборатории Юлиуса Плюккера. Тот вроде бы должен был заниматься прикладной математикой и экспериментальной физикой, но его интересы сосредоточились на геометрии, и Клейн попал под его влияние. Диссертация Клейна, датированная 1868 г., была посвящена линейной геометрии, ее приложениям к механике.
В 1870 г. Клейн работал вместе с Ли над теорией групп и дифференциальной геометрией. В 1871 г. он совершил открытие, что неевклидова геометрия – это геометрия проективной поверхности с определенным коническим сечением. Этот факт весьма откровенно и бескомпромиссно доказал, что неевклидова геометрия логически обоснована, точно так же как и евклидова. Этот довод практически положил конец дискуссии о статусе неевклидовой геометрии.
В 1872 г. Клейн стал профессором университета в Эрлангене, и в своей «Эрлангенской программе» 1872 г. он унифицировал практически все известные в то время виды геометрии и четко описал связи между ними, рассматривая геометрию через инварианты группы преобразований. Так геометрия стала ответвлением теории групп. Клейн написал статью по этой теме для своей торжественной речи (при утверждении его профессором), но так и не смог обнародовать ее в тот день. Сочтя Эрланген недостаточно продвинутым местом, ученый в 1875 г. перебрался в Мюнхен. Он женился на Анне Гегель, внучке великого философа. Через пять лет он переехал в Лейпциг, где расцвел его талант математика.
Клейн был уверен, что лучшая его работа была по теории функций комплексного переменного, где он провел глубокое исследование инварианта функций для различных групп преобразований комплексной плоскости. Особенно подробно в этом контексте он развил теорию простой группы порядка 168. В решении проблемы униформизации комплексных функций он вступил в соперничество с Пуанкаре, но резко подорвал здоровье – возможно, из-за слишком напряженной борьбы.
В 1886 г. Клейн занял должность профессора в Университете Гёттингена и сосредоточился на административной деятельности – учреждении самой внушительной в мире математической школы. Он возглавлял ее вплоть до ухода на пенсию в 1913 г.
