Классификация Киллинга для простых групп Ли доказала, что они могут относиться к одному из четырех бесконечных семейств An, Bn, Cn и Dn с пятью исключениями: G2, F4, E6, E7 и E8. Возможными классификациями всех простых конечных групп занимались слишком многие математики, чтобы перечислить их поименно, но общее направление в решении этой проблемы было задано Даниэлем Горенштейном. Его ответ, опубликованный в 1988–1990 гг., до странности знаком: список бесконечных семейств и список исключений. Но в нем уже гораздо больше семейств, а число исключений увеличилось до 26.
Семейства включают знакопеременные группы (известные еще Галуа) и ряд групп типа Ли, похожих на простые, но заданных над разными конечными полями, а не над комплексными числами. В этой области есть несколько любопытных вариаций. Исключениями оказываются 26 отдельных групп с некоторыми намеками на общие свойства, но без унифицированной структуры. Первое доказательство того, что классификация полная, пришло из совокупности трудов сотен математиков общим объемом около 10 тыс. страниц. Ряд самых важных частей доказательства так и не был опубликован. Последние работы тех, кто продолжает исследовать эту область, посвящены построению более простой и прозрачной классификации, – подход, ставший возможным благодаря тому, что ответ уже известен. Результаты выходят в свет в виде сборников статей, объем которых в сумме уже составляет около 2000 страниц.
Самой загадочной из входящих в число исключительных простых групп и самой большой из них остается так называемый монстр. Его порядок таков:
246 × 320 × 59 × 76 × 112 × 133 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 41 × 47 × 59 × 71,
что равно
808017424794512875886459904961710757005754368000000000,
это приблизительно 8 × 1053. Существование монстра предположили в 1973 г. Бернд Фишер и Роберт Грисс. В 1980 г. Грисс доказал, что он существует, и построил его алгебраическую конструкцию как группу симметрии алгебры с 196 884 измерениями. Этот монстр, судя по всему, имеет неожиданные связи с теорией чисел и комплексным анализом, сформулированные Джоном Конвеем как «гипотеза чудовищного вздора». Гипотеза была доказана в 1992 г. Ричардом Борчердсом, за что он получил Филдсовскую медаль – самую престижную награду для математика.
Великая теорема Ферма
Применение алгебраических числовых полей к теории чисел стремительно развивалось во второй половине ХХ в., причем возникало всё больше связей с прочими областями математики, включая теорию Галуа и алгебраическую топологию. Кульминацией этой работы стало доказательство Великой теоремы Ферма почти через 350 лет после ее первого упоминания.
Идея, обеспечившая возможность решения этой задачи, пришла из прекрасной области, заключенной в самом сердце современных трудов по диофантовым уравнениям, – теории эллиптических кривых. Это те кривые, у которых полный квадрат равен кубическому многочлену, и они представляют ту область уравнений Диофанта, которая понятна математикам. Однако сам предмет не лишен своих нерешенных проблем. Самой значительной остается гипотеза Таниямы – Вейля, названная в честь Ютаки Таниямы и Андре Вейля. Она гласит, что любую эллиптическую кривую можно описать в терминах модулярных функций – обобщений тригонометрических функций, в частности изучавшихся Клейном.
ЧТО АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА ДАЛА ИМ
В своем труде «Исследование законов мышления», опубликованном в 1854 г., Джордж Буль показал, что алгебра применима к логике, и в результате открыл то, что сейчас называется булевой алгеброй.
Я могу дать лишь набросок высказанных Булем идей. Самыми важными логическими операциями являются не, и, или. Если утверждение S истинно, то утверждение «не S» ложно, и наоборот. Утверждение «S и T» будет истинно тогда и только тогда, когда оба утверждения, S и T, истинны. Утверждение «S или T» истинно, когда истинны либо S, либо T, либо они оба одновременно. Буль обратил внимание на то, что если вместо Т мы поставим 1, а вместо S – 0, алгебра этих логических операций будет очень напоминать обычную, если мы примем, что 0 и 1 – целые числа по модулю 2; тогда 1 + 1 = 0 и – S по абсолютной величине равно S. Тогда «не S» есть 1 + S, «S и Т» есть ST и «S или T» есть S + T + ST. Сумма S + T соответствует исключающему или (xor на языке компьютерщиков). «S xor T» истинно при условии, что истинно либо T, либо S, но не оба одновременно. Буль открыл, что его курьезная алгебра логики полностью самосогласована, если вы запомните ее немного странные правила и будете использовать их систематически. Это был один из первых шагов в сторону формальной теории математической логики.
В начале 1980-х гг. Герхард Фрай открыл связь между Великой теоремой Ферма и эллиптическими кривыми. Предположим, что решение для уравнения Ферма существует; тогда вы можете построить эллиптическую кривую с очень необычными свойствами, такими, что даже само существование такой кривой покажется невероятным. В 1986 г. Кеннет Рибет развил эту идею, доказав, что если гипотеза Таниямы – Вейля верна, то кривая Фрая существовать не может. Получается, предположенное ранее решение теоремы Ферма тоже не может существовать, что доказывает Великую теорему Ферма. Этот подход основан на гипотезе Таниямы – Вейля и к тому же показывает, что Великая теорема Ферма – не просто исторический курьез. Напротив, она лежит в основе современной теории чисел.
Эндрю Уайлс с детства мечтал найти доказательство Великой теоремы Ферма, но, став профессионалом, решил, что это не более чем отдельная проблема – пусть нерешенная, но не такая уж и важная. Работа Рибета заставила его изменить мнение. В 1993 г. он заявил о доказательстве гипотезы Таниямы – Вейля для отдельного класса эллиптических кривых, достаточно общем, чтобы найти доказательство Великой теоремы Ферма. Но когда статья уже была готова к публикации, в ней обнаружился серьезный пробел. Уайлс был готов сдаться, когда «внезапно, неожиданно на меня снизошло это невероятное откровение… это было столь неописуемо прекрасно, столь элегантно и просто, и я оцепенел, не в силах поверить». При участии Ричарда Тейлора он пересмотрел свое доказательство и сумел исправить пробел. Его статья вышла в 1995 г.
В одном мы можем быть уверены: что бы ни подразумевал сам Ферма, заявляя, что у него есть доказательство его Великой теоремы, его подход был совершенно иным по сравнению с методами Уайлса. Нашел ли Ферма на самом деле простое и изящное доказательство, или он обманывал сам себя? Эту загадку, в отличие от самой теоремы, мы не разгадаем никогда.
Абстрактная математика
Развитие всё более абстрактного подхода в математике представляется естественным следствием роста разнообразия ее областей. Когда математика по большей части имела дело с числами, алгебраические символы служили не более чем простой заменой им. Но по мере развития математики росли и символы сами по себе, всё больше обретая самостоятельную жизнь. Смысл их становился всё менее важным по сравнению с правилами, по которым с ними можно было манипулировать. Но даже эти правила не были под запретом: традиционные законы арифметики, например коммутативный, далеко не всегда справлялись с новым контекстом.
