И не только алгебра стала абстрактной. И анализу, и геометрии тоже пришлось сфокусироваться на более отвлеченных понятиях, причем по тем же причинам. Поворотным временем в изменении общего подхода стал период с середины XIX до середины XX в. Потом начался период консолидации, когда математики старались сбалансировать противоречия между требованиями абстрактного формализма и прикладной науки. Абстракция и обобщения шли рука об руку, но абстракция также способна и затенять значение математики. По крайней мере, больше не возникало споров о необходимости абстракции как таковой: подобные методы доказали свою важность в решении множества давних задач, таких как Великая теорема Ферма. И то, что еще вчера казалось не более чем отвлеченными играми разума, завтра могло запросто стать жизненно важной областью науки или источником хорошего дохода.
ЧТО АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА ДАЕТ НАМ
Поля Галуа создали надежный фундамент для системы кодирования, которая широко используется в различных коммерческих предложениях, особенно для CD и DVD. Всякий раз, слушая музыку или смотря видео, вы используете абстрактную алгебру.
Эти методы получили название кодов Рида – Соломона, в честь Ирвинга Рида и Густава Соломона, открывших их в 1960 г. Эти коды с исправлением ошибок, основанные на многочленах, с коэффициентами в конечных полях, применяются при кодировании данных, таких как музыка или видеосигналы. Известно, что многочлен степени n однозначно определяется своими значениями в различных точках. Идея состоит в вычислении многочлена в более чем n точках. Если здесь нет ошибок, любое подмножество из n точек восстановит тот же самый многочлен. Если это не так, то, исходя из предположения, что количество ошибок не слишком велико, мы всё еще сможем вывести нужный многочлен.
На практике данные представлены в виде кодированных блоков с 2m – 1 m-байтных символов в каждом, где байт – двоичный символ: 0 или 1. Чаще всего выбирается значение m = 8, потому что многие старые компьютеры работают в байтах – последовательностях из восьми битов. Тогда число символов в блоке равно 255. Один обычный код Рида – Соломона содержит 223 байта закодированных данных в каждом 223-байтном блоке, и оставшиеся 32 байта отводятся на символы четности, в которых указано, должны ли определенные комбинации цифр в данных быть нечетными или четными. Такой код может исправлять до 16 ошибок в одном блоке.
Глава 15. Геометрия на резиновом листе
Количество переходит в качество
Все важные элементы евклидовой геометрии: прямые, углы, окружности, площади и т. д. – так или иначе связаны с измерением. Отрезок прямой имеет длину, угол – определенный размер, он может немного отличаться от прямого (90°), варьируя между 89 и 91°, окружности определяются с помощью их радиусов, площадь фигуры зависит от длины ее сторон. Скрытый элемент, благодаря которому работает геометрия Евклида в целом, – это длина, метрическая величина, которая остается неизменной при движениях и определяет евклидов эквивалент концепции движения – конгруэнтность.
Топология
Новые типы геометрии тоже оказались метрическими. В неевклидовой геометрии можно определять длину и угол, они просто имеют другие свойства, нежели длина и угол на евклидовой плоскости. С открытием проективной геометрии всё изменилось: проективные преобразования могут изменять длину, а также угол. Евклидова геометрия и два основных вида неевклидовой относительно жесткие. Проективная более гибкая, но даже здесь есть более тонкие инварианты, и в представлении Клейна это определяет геометрию как группу преобразований и соответствующих инвариантов.
На исходе XIX в. математики начали развивать еще более гибкую разновидность геометрии – столь гибкую, что она получила название «геометрия на резиновом листе». Нам более привычно иное наименование – топология. Это геометрия форм, которые можно исказить чрезвычайно запутанными способами. Прямые могут искривляться, сжиматься или растягиваться; окружности сжимают так, что они превращаются в треугольники или квадраты. Единственное, что имеет значение, – непрерывность. Трансформации, разрешенные в топологии, непременно должны быть непрерывными в смысле анализа. Грубо говоря, это значит, что если две точки изначально достаточно близки между собой, они и в итоге останутся близкими, – отсюда и образ резинового листа.
Здесь всё еще слышны отголоски привычного метрического образа мышления: «достаточно близкие» – метрическая концепция. Но к началу ХХ в. математики избавились и от них, и топологические преобразования обрели независимое существование. Это тут же повысило научный статус топологии, вплоть до того, что она заняла ведущую роль в математике, – хотя с самого начала производила впечатление очень странной и бессодержательной области. Если преобразования настолько гибкие, то что же тогда может быть инвариантом? На поверку выходит, что очень многое. Однако тип инварианта, который тогда вступил в игру, еще никогда не рассматривался в геометрии. Связность: сколько именно частей имеет этот объект? А отверстия: то ли видна петля, то ли туннель сквозь объект? Узлы – как они образовались и можно ли их распутать? С точки зрения тополога, и бублик, и чашка кофе идентичны (зато не идентичны бублик и стакан); однако оба отличаются от круглого мяча. Простой узел отличается от узла-восьмерки, но для доказательства этого потребовалось изобрести новый подход, и долгое время вообще никому не удавалось доказать, существуют ли узлы.
Кажется невероятным, чтобы нечто столь зыбкое и расплывчатое могло оказаться для нас столь важным. Но внешность обманчива. Непрерывность – одно из фундаментальных качеств мира природы, и любое сколь-нибудь серьезное исследование непрерывности приводит к топологии. Даже сегодня мы косвенно пользуемся топологией наряду со множеством других техник.
Вы не найдете примеров откровенной топологии у себя на кухне – по крайней мере явных. (Хотя иногда вы можете заметить ее элементы в хаотичной работе посудомоечной машины, использующей беспорядочные перемещения двух вращающихся лопастей для пущей эффективности процесса. Кроме того, наше понимание феномена хаоса зиждется на топологии.) Главными практическими потребителями топологии стали теоретики квантовых полей, – возможно, это не очень привычное использование слова «практический», но, несомненно, важная область физики. Другое приложение идей топологии демонстрирует молекулярная биология, где с помощью топологических концепций ученые исследуют изгибы и повороты молекулы ДНК.
В скрытом виде топология приносит информацию в математический мейнстрим в целом и способствует развитию других методов с более очевидным практическим применением. Это строгое исследование качественных геометрических характеристик – в противоположность количественным, таким как длина. Вот почему математики придают топологии такое значение, хотя вполне возможно, что остальной мир об этом не знает.
Многогранник и кенигсбергские мосты
Как полноправная наука топология обособилась только в 1900-х гг., но она уже проявлялась и ранее в математических исследованиях. Два вопроса в предыстории топологии были рассмотрены Эйлером: его формула для многогранника и решение задачи о кенигсбергских мостах.
