Комбинация этих двух результатов называется теоремой о классификации поверхностей. Она позволяет описать в топологическом эквиваленте любую возможную поверхность (или конечное пространство без границ). С доказательством этой теоремы топология двумерных пространств – поверхностей – может считаться вполне изученной. Это, конечно, не значит, что на любой вопрос о поверхностях теперь легко найти ответ, но по крайней мере это дает хороший задел для исследований новых сложных проблем. В любом случае, теорема о классификации поверхностей – чрезвычайно важный инструмент двумерной топологии.
Бутылка Клейна. Видимое самопересечение – не более чем иллюзия, возникающая из-за трехмерности изображения
ЖЮЛЬ-АНРИ ПУАНКАРЕ 1854–1912
Анри Пуанкаре родился во французском Нанси. Его отец Леон был профессором медицины в Университете Нанси, его мать звали Эжени Лануа. Его кузен, Раймон Пуанкаре, стал французским премьер-министром и даже занимал пост президента страны во время Первой мировой войны. Анри отлично успевал по всем предметам в школе, особенно выделяясь в математике. Прекрасная память и способность легко представить себе объемное изображение даже самой сложной формы помогали компенсировать его слабое зрение: ученик едва различал классную доску, не говоря уж о том, что на ней было написано.
Его первой должностью был пост преподавателя в университете города Кан в 1879 г., но уже в 1881 г. он удостоился гораздо более денежного и престижного места в Парижском университете. Там он стал одним из ведущих математиков своего времени. Он работал систематически – каждый день по четыре часа, разбитых на два двухчасовых промежутка, утром и вечером. Но полет его мысли не поддавался столь строгой организации, и зачастую он принимался писать статью, не имея даже представления о том, к чему приведет его новое исследование и как оно закончится. Его отличала высочайшая интуиция, и лучшие идеи приходили часто в те моменты, когда он размышлял о чем-то постороннем.
Среди своих современников он, несомненно, был самым выдающимся математиком, сделавшим немало важных открытий в теории комплексного переменного, дифференциальных уравнений, неевклидовой геометрии и топологии – которую отчасти и создал. Он много занимался прикладными исследованиями в области электричества, сопротивления материалов, оптики, термодинамики, теории относительности, квантовой теории, астрономии и космологии.
Он завоевал главный приз в конкурсе, объявленном в 1887 г. королем Швеции и Норвегии Оскаром II. Темой была объявлена «задача трех тел» – исследование движения гравитационно взаимодействующих трех тел. В поданную на конкурс работу закралась ошибка, которую удалось быстро исправить. В результате были открыты возможности того, что сейчас известно под названием «хаос»: беспорядочное, непредсказуемое движение в системе, подчиняющейся детерминированным законам. Также он опубликовал несколько чрезвычайно популярных и известных книг: «Наука и гипотеза» (1901), «Ценность науки» (1905), «Наука и метод» (1908).
Тем, кто хочет научиться мыслить в понятиях топологии, часто помогает представление об изучаемом пространстве как о единственном существующем предмете. Вовсе ни к чему пытаться вписать его в окружающее пространство. Это позволяет полностью сосредоточиться на внутренних свойствах пространства. Представьте на минуту мелкое существо, обитающее, так сказать, на топологической поверхности. Как может такая козявка, не имея представления обо всем окружающем ее пространстве, пытаться понять, на чем она обитает? Как прикажете ей давать характеристики такой поверхности «изнутри»? К 1990 г. стало ясно, что единственный способ ответить на этот вопрос – представить существование на этой поверхности замкнутых петель и способы их деформации. Например, на сфере любая замкнутая петля может непрерывно деформироваться до точки – стянувшись в нее. Окружность, вращающаяся вокруг экватора, может постепенно смещаться к северному полюсу, делаясь всё меньше, пока не совпадет с самим полюсом.
И наоборот, всякая поверхность, не эквивалентная сфере, содержит петли, которые не могут быть деформированы до точки. Они проходят сквозь отверстие, и то не дает им стягиваться. Итак, сфера может быть определена как единственная поверхность, в которой всякая замкнутая петля может стянуться до точки.
Топология в трех измерениях
Естественным шагом после плоскостей – двумерных топологических пространств – становится трехмерное пространство. Теперь объектами изучения станут многообразия в понимании Римана, за исключением того, что понятия расстояния игнорируются. В 1904 г. Анри Пуанкаре, один из величайших математиков всех времен, пытался понять свойства трехмерных многообразий. Он открыл ряд методов для достижения этой цели. Один из них, гомология, изучает взаимоотношения между областями в многообразиях и их границами. Другой – гомотопия – отслеживает изменения, происходящие с замкнутыми петлями в многообразиях в процессе их деформации.
Гомотопия тесно связана с методами, отлично служившими при изучении плоскостей, и Пуанкаре искал аналогичные результаты для трехмерного пространства. Так он пришел к одному из самых важных вопросов математики.
Он помнил о свойстве сферы как единственной поверхности, у которой всякая замкнутая петля может стянуться. Работает ли это свойство в трех измерениях? На первых порах он предположил, что да. Это казалось очевидным, и ученому даже не пришло в голову, что он делает необоснованное допущение. Позже ему стало ясно, что одна из правдоподобных версий этого утверждения откровенно ошибочна, а другая тесно связанная с нею формулировка может оказаться верной, несмотря на сложности с доказательством. Он задал вопрос, впоследствии названный гипотезой Пуанкаре. Если трехмерное многообразие (без границ, или конечного пространства, и т. д.) обладает тем свойством, что всякая замкнутая петля в нем может стянуться до точки, то такое многообразие топологически должно быть эквивалентно 3-сфере (естественному аналогу обычной сферы).
Последовавшие попытки доказать теорему завершились успешными обобщениями для четырех и более измерений. Топологи продолжали работу с изначальной гипотезой Пуанкаре, в трех измерениях, – без успеха.
В 1980-х гг. Уильям Тёрстон высказал идею, которая могла бы превзойти гипотезу Пуанкаре, будучи более амбициозной. Его гипотеза геометризации пошла дальше, обобщая свойства всех трехмерных многообразий, а не только тех, где всякая замкнутая петля может стянуться. Отправной точкой стала новая интерпретация классификации поверхностей в терминах неевклидовой геометрии.
