Обоснованность равенства С = א1 зависит от выбранных аксиом, но связанное с ним равенство от этого не зависит. Это равенство С = 2א0. Для любого кардинального числа A мы можем определить 2A как кардинальное число множества (мощностью А) всех его подмножеств. И мы можем очень легко доказать, что 2A всегда больше A. Это значит, что не только некоторые бесконечности больше, чем другие, но и нет бесконечно большого кардинального числа.
Противоречия
Однако величайшей целью фундаментальной математики было все-таки не доказательство существования математических идей. Гораздо важнее было доказать, что математика логически последовательна. Ведь всем сегодня понятно: можно выстроить некоторую четкую последовательность безупречно правильных логических шагов, приводящую к абсурдному выводу. Может, вы соберетесь доказать, что 2 + 2 = 5 или 1 = 0, например. Или что 6 – простое число, или что π = 3.
Ведь может показаться, что одно незначительное противоречие будет иметь ограниченные последствия. В быту люди вообще спокойно воспринимают такие противоречия, заявляя в один момент, что глобальное потепление уничтожает планету, а в другой – что авиакомпании-лоукостеры – гениальное изобретение. Но для математики последствия не могут быть ограниченными, и вы не избежите логических противоречий, просто закрыв на них глаза. В математике, как только что-то доказано, вы можете использовать это для других доказательств. Доказательство того, что 0 = 1, повлечет еще больше неприятностей. Например, утверждение, будто все числа равны. Если x – любое число, то сначала умножим обе части равенства 0 = 1 на х. Тогда 0 = x. И если y – любое другое число, то 0 = y. Значит, x = y.
Хуже того, стандартный метод доказательства от противного означает, что может быть доказано что угодно, если доказано, что 0 = 1. Чтобы доказать Великую теорему Ферма, мы рассуждаем так.
Предположим, что Великая теорема Ферма неверна.
Тогда 0 = 1.
Противоречие.
Значит, теорема Ферма верна.
Если бы было верно неудовлетворительное равенство [0 = 1], этот метод доказал бы, что Великая теорема Ферма неверна.
Предположим, что Великая теорема Ферма неверна.
Тогда 0 = 1.
Противоречия нет.
Значит, теорема Ферма неверна.
Коль скоро всё правда – и при этом ложь, о чем вообще может идти речь? Вся математика превращается в пустую и глупую игру.
Давид Гильберт окончил в 1885 г. университет в Кенигсберге, защитив сразу свою диссертацию по теории инвариантов. Он работал в университете, пока не стал профессором в Гёттингене в 1895 г. Но он продолжал развивать теорию инвариантов, доказав свою теорему о базисе в 1888 г. Его методы отличались от принятых в то время способов исследования абстрактным подходом, и один из ведущих ученых того времени, Пауль Гордан, вообще счел его труды неудовлетворительными. Перед публикацией в авторитетном математическом журнале Mathematische Annalen Гильберт переработал свою статью, после чего Клейн назвал ее «самой важной работой по общей алгебре из всего, что когда-либо публиковал этот журнал».
В 1893 г. Гильберт начал писать более всеобъемлющую монографию по теории чисел под названием «Отчет о числах». Хотя изначально целью было обобщение уже накопленных сведений, ученый включил в статью много собственных открытий, ставших позже основой для того, что сейчас нам известно как теория полей классов.
К 1899 г. он снова поменял направление исследований и занялся аксиоматическим обоснованием геометрии Евклида. В 1923 г. на Втором международном конгрессе математиков в Париже он представил список из 23 главных нерешенных проблем. Этот список, известный как проблемы Гильберта, оказал решающее влияние на главные направления математики в последующие годы.
Примерно в 1909 г. его работа по интегральным уравнениям привела к открытию гильбертовых пространств, сейчас составляющих основу квантовой механики. Также в статье от 1915 г. он подошел вплотную к открытию уравнений Эйнштейна для общей теории относительности. Он добавил в доказательство примечание о том, что его статья согласуется с уравнениями Эйнштейна. Из-за этого сложилось ошибочное убеждение о том, что Гильберт якобы предвосхитил открытие Эйнштейна.
В 1930 г. Гильберт ушел в отставку и получил титул почетного гражданина Кенигсберга. Его речь на церемонии заканчивалась словами: «Мы должны знать. Мы будем знать» – кратким выражением его веры в математику и решимости справиться с любыми проблемами.
Гильберт
Следующий важный шаг был сделан Давидом Гильбертом, пожалуй, самым великим математиком своего времени. Он имел привычку заниматься одной областью математики примерно десять лет, полируя решения основных задач, а затем переходить в другую. По убеждению Гильберта, рано или поздно удастся доказать, что математика никогда не может привести к логическому противоречию. Также он осознал, что в этом проекте не будет пользы от физического восприятия. Если математика противоречива, то должно быть возможно доказать, что 0 = 1, и тогда физическая интерпретация уравнения будет: 0 коров = 1 корова, т. е. коровы могут растворяться в воздухе, как дым. Это непохоже на правду. Но нет никакой гарантии, что математика натуральных чисел обязана отвечать физике коров, или, по крайней мере, нельзя себе представить, что коровы способны внезапно исчезнуть (это может произойти в квантовой механике, но с крайне малой вероятностью). В конечной Вселенной числу коров есть предел, но нет предела в математике количеству целых чисел. Значит, наша интуиция может оказаться обманчивой, и ее следует игнорировать.
Гильберт пришел к такой точке зрения в своей работе над аксиоматическим обоснованием евклидовой геометрии. Он обнаружил в системе аксиом Евклида логические недостатки и понял, что Евклид был введен в заблуждение своим зрением. Поскольку он воспринимал линию как длинный тонкий предмет, окружность как круг и точку как крапинку, он безоговорочно признавал за этими предметами определенные свойства, не придавая им форму аксиом. После нескольких попыток Гильберт сумел составить список из 21 аксиомы и обсудил их роль в евклидовой геометрии в 1889 г. в своем труде «Основания геометрии».
Гильберт также настаивал, что логический вывод должен быть обоснованным независимо от особенностей его интерпретации. Всё, что удовлетворяет какой-то интерпретации аксиом, но не удовлетворяет другой, чревато логическими ошибками. И именно этот подход к аксиоматике, а не частные исследования геометрии стал в итоге самым весомым вкладом Гильберта в основания математики. Его точка зрения повлияла на саму суть математики, делая ее намного проще – и респектабельнее – при изобретении новых концепций путем составления для них списка аксиом. Большинство абстрактных исследований в математике начала ХХ в. исходит как раз из позиции Гильберта.
