К середине XX в. математика вступила в фазу стремительного роста благодаря ее активному применению на практике и появлению новых мощных методов. Достоверная история современной математики займет не меньше места, чем перечисление всех ее предшествовавших достижений. Остается выбрать лишь самые выразительные примеры, чтобы показать, что математики по-прежнему отличаются оригинальностью и творческим мышлением. Одной из таких тем, привлекавших пристальное внимание широкой публики в 1970–1980-х гг., является теория хаоса (так называют СМИ нелинейную динамику). Другая тема – сложные системы, требующие менее ортодоксального образа мышления и рождающие не только новые разделы математики, но и новые области науки.
Хаос
Вплоть до 1960-х гг. у слова «хаос» было лишь одного значение – бесформенный беспорядок. Но с того времени открытия в фундаментальных науках и математике наделили его вторым, более отвлеченным значением: сочетание аспектов беспорядка с аспектами формы. Ньютоновские «Начала» упростили систему мира до дифференциальных уравнений, и это был детерминизм Нового времени. Подразумевалось, что если известно исходное состояние системы, ее будущее определено однозначно и навсегда. С точки зрения Ньютона, Вселенная работала как часы, приведенные в движение рукой творца и с тех пор идущие по одному неизбежному пути. Такой подход не оставлял пространства для свободы воли, и в нем могла крыться одна из причин ранних убеждений, что наука – нечто холодное и даже бесчеловечное. Но эта же точка зрения хорошо послужила человечеству, дав нам радио, телевидение, радары, мобильные телефоны, воздушные перевозки, спутники связи, искусственные волокна, пластмассы и компьютеры.
Рост научного детерминизма сопровождался смутной, но глубоко укоренившейся верой в сохранение сложности. Привычное убеждение, что простые причины должны рождать простые эффекты, предполагает, что у сложных эффектов наверняка есть не менее сложные причины. Из-за этого убеждения при взгляде на сложный объект или систему в нашем мире мы сразу начинаем гадать, откуда взялась такая сложность. В чем причины, например, сложности жизни в целом, если исходить из того, что она появилась на мертвой планете? Мы очень редко догадываемся, что сложность может появиться сама по себе, но именно это показывают нам новейшие математические методы.
Единая формула?
Детерминированность законов физики следует из простого математического факта: для любого дифференциального уравнения с заданными начальными условиями существует не более одного решения. В романе Дугласа Адамса «Автостопом по галактике» суперкомпьютер Думатель на протяжении пяти миллионов ведет вычисления ради ответа на великий вопрос жизни, Вселенной и всего сущего и с триумфом получает ответ: 42. Этот эпизод – пародия на знаменитое утверждение, в котором Лаплас выразил математическую точку зрения на детерминизм.
Разум, который для какого-то данного момента знал бы все силы, действующие в природе, и относительное расположение ее составных частей, если бы он, кроме того, был достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу, объял бы в единой формуле движения самых огромных тел во Вселенной и самого легкого атома; для него не было бы ничего неясного, и будущее, как и прошлое, было бы у него перед глазами.
И тут же он одной фразой обрушивает читателей с небес на землю:
Человеческий разум способен представить лишь бледную тень этого совершенного замысла, наблюдаемого в астрономии.
Ирония в том, что именно изучение небесной механики, всегда считавшейся самой детерминированной областью физики, и положило конец жесткому детерминизму Лапласа. В 1886 г. король Швеции Оскар II (правивший также в Норвегии) объявил награду за решение задачи устойчивости Солнечной системы. Будет ли наш клочок великого часового механизма Вселенной тикать вечно, либо какой-то планете суждено рухнуть на Солнце или вовсе убежать в межзвездное пространство? Любопытно, что физические законы сохранения энергии и импульса не отрицали возможности обоих вариантов, но можно ли было пролить свет на более детальное описание Солнечной системы?
Пуанкаре был твердо намерен получить эту премию, и для начала он решил упростить задачу, рассмотрев движения трех небесных тел. Уравнения для трех тел были не намного сложнее, чем для двух, и почти не отличались по форме. Однако разминка с тремя телами оказалась на поверку крепким орешком и привела к весьма тревожному открытию. Решения таких уравнений оказались совершенно не похожи на решения для двух тел. Они были настолько сложными, что для них не удавалось записать математические формулы. Более того, Пуанкаре достаточно хорошо разбирался в геометрии – а именно в топологии – этих решений, чтобы доказать без тени сомнений, что движения, представленные в этих решениях, могут время от времени становиться беспорядочными и нерегулярными. «Можно только поражаться, – писал он, – сложностью этого рисунка, который я даже не дерзаю попытаться изобразить. Ничто не может сильнее убедить нас в величайшей сложности проблемы трех тел». Сейчас эта сложность считается классическим примером хаоса.
ПРОСЧЕТ ПУАНКАРЕ
Джун Барроу-Грин, изучавшая архивы Института Миттаг-Леффлера в Стокгольме, недавно раскопала скрытую до поры довольно неприятную историю. В работе Пуанкаре, получившей когда-то королевскую премию, содержалась серьезная ошибка. Вопреки всеобщему мнению, ученый был далек от открытия хаоса, напротив, заявлял, будто доказал, что такового не существует. В оригинале его работы есть доказательство того, что все движения в задаче о трех телах регулярны и предсказуемы.
Уже получив премию, Пуанкаре запоздало обнаружил свою ошибку и тут же понял, что она полностью дискредитирует его доказательство. Но удостоенная награды статья уже была опубликована в одном из номеров институтского журнала. Номер успели изъять, и Пуанкаре за свой счет перепечатал его – уже с описанием гомоклинических петель, которые мы сейчас называем хаосом. Это обошлось ему в значительно большую сумму, чем премия. Удалось отозвать практически все экземпляры ошибочной версии работы, но одна ускользнула из его сетей и сохранилась в архиве института.
Его работа получила премию короля Оскара II, хотя в ней и не было окончательного решения проблемы. Примерно 60 годами позже она стала важнейшим толчком для изменения наших взглядов на Вселенную и ее связь с математикой.
В 1926–1927 гг. голландский инженер Балтазар ван дер Пол сконструировал электронную схему для создания математической модели сердца и обнаружил, что в определенных условиях возникающие колебания становятся не периодическими, как полагается сердцу, а нерегулярными. Его работа получила солидное математическое обоснование во время Второй мировой войны в исследовании Джона Литлвуда и Мэри Картрайт, посвященной радарам. Но прошло еще 40 лет, прежде чем стало ясно истинное значение этих открытий.
Нелинейная динамика
В начале 1960-х гг. американский математик Стивен Смэйл открыл новую эру в теории динамических систем, собравшись разработать полную классификацию типичных образцов поведения электронных схем. Изначально ожидая получить в ответе некие комбинации периодических движений, он очень быстро понял, что здесь возможно гораздо более сложное поведение. В частности, он развил открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, создав упрощенную геометрию для описания системы, получившей название подковы Смэйла. Он доказал, что система подковы, хоть и детерминированная, обладает некоторыми случайными чертами поведения. Другие примеры подобных явлений были открыты представителями американской и советской школ теоретических динамических систем. Самый значительный вклад внесли Александр Шарковский и Владимир Арнольд, благодаря чему появилась общая теория. Термин «хаос» предложили Джеймс Йорк и Тьен-Йен Ли в 1975 г. в краткой статье, упростившей один из результатов советской школы – теорему Шарковского (1964) с описанием любопытной закономерности в периодических решениях дискретной динамической системы – той, где время движется отдельными шагами, а не непрерывно.
