Эту недооценку человеком величины числа, которое получится в результате последовательного совершения той или иной математической операции (умножения), умные люди подметили довольно давно.
Примером тут может быть легенда об изобретателе шахмат. Она имеет много вариаций, и здесь я изложу одну из них.
Когда индийский мудрец показал свое изобретение – шахматы – одному радже, тому они так понравились, что он попросил мудреца самому придумать себе награду за это потрясающее изобретение.
Мудрец подумал и сказал:
– О щедрейший из щедрых! Я прошу у тебя совсем немного. Просто положи на первую шахматную клетку одно зерно риса, на вторую – два зерна, на третью – четыре, на четвертую – восемь и так далее. И этого мне будет довольно.
Раджа удивился, кивнул и приказал своему советнику подсчитать количество риса, которое нужно отдать мудрецу.
Советник считал три дня, но сосчитать так и не смог!
И неудивительно, ведь у него должно было получиться 18 446 744 073 709 551 615 зерен!
По-видимому, даже если сложить весь рис, произведенный человечеством на сегодняшний день, такого количества зерен не получится.
Похожим образом вы можете выиграть в споре с товарищем. Все, что вам нужно для этого, – поспорить с ним, что он не сможет сложить лист формата А4 пополам больше восьми раз подряд.
На первый взгляд кажется, что сложить лист можно и восемь, и десять раз подряд. Но на самом деле наш разум снова нас подводит, а очевидное оказывается ошибочным.
Я вот, например, только что складывал лист формата А4, и у меня получилось сложить его пополам подряд лишь семь раз. К этому моменту получившаяся бумажная штука стала настолько толстой, что сложить ее восьмой раз было просто невозможно.
Как видим, в оценке результатов так называемого экспоненциального роста (а именно о таком росте идет речь в последних двух случаях: об экспоненциальном росте количества зерен и экспоненциальном росте толщины бумаги) наш разум допускает весьма существенные ошибки.
Если мы пренебрежем плотностью листа бумаги или придумаем способ складывать пополам лист сколь угодно большой толщины, то, когда мы сложим его пополам 103 раза, высота получившегося свертка будет такой, что мы выйдем за границы наблюдаемой Вселенной.
«Но это все арифметика! Это все оторванные от жизни задачи! – скажет кто-то. – А в реальной жизни нам не приходится так напрягать свой разум».
Что ж, тут мы снова имеем дело с заблуждением, ведь в реальной жизни все еще сложнее. Факторов, которые необходимо учитывать для того, чтобы принять правильное решение и сделать правильный вывод, не меньше, а зачастую и больше, чем цифр в приведенных выше примерах, а описаны они гораздо менее точно – далеко не в виде чисел и вообще не в виде однозначно понятных знаков.
Итак, я думаю, вы убедились, что у нашего разума есть ограничения. Но их наличие – это еще полбеды. Проблема усложняется тем, что у разума есть явные ограничения, а есть неявные, которые скрыты даже от него самого.
Явные ограничения – это, например, ограниченное число объектов, о которых мы можем размышлять одновременно. В частности, можете ли вы сразу сказать, сколько точек изображено на рисунке?
Попытка сосчитать точки вскрывает и другое ограничение нашего разума: ему необходимы инструменты. Например, считать точки будет значительно легче, если зачеркивать те, что уже подсчитаны, или хотя бы просто указывать на них пальцем или карандашом. Да и считаем мы не некими присущими разуму категориями, а с помощью чисел, применять которые научились в школе.
Еще одно явное ограничение разума состоит в том, что его работа ухудшается под влиянием эмоций и различных физиологических состояний. Раннее утро, поздний вечер – не самое лучшее время для решения интеллектуальных задач, а слишком плохое или даже слишком хорошее настроение зачастую мешает нам использовать разум в полную силу.
Но самое неприятное то, что у разума есть неявные ограничения – это его уязвимости, слабые места, о которых людям стало известно сравнительно недавно. Речь идет об устойчивых склонностях совершать ошибки, делать неправильные выводы в определенных условиях. И свойства нашего разума, которые заставляют его совершать такого рода ошибки, в науке носят название эвристик и когнитивных искажений, которым, собственно, в основном и посвящена эта книга и о которых мы будем говорить гораздо подробнее.
Что ж, мы убедились, что наш разум, подобно нашим органам чувств, имеет ограничения. Но что с этим делать? Как эти ограничения преодолеть?
Давайте разбираться.
Невооруженным глазом
Когда мы хотим познать мир, получить новую информацию, рассмотреть, услышать, оценить, сопоставить, нам бывает необходимо преодолеть ограничения наших органов чувств. Так, если нам нужно посмотреть дальше, чем видят наши глаза, мы берем бинокль или даже телескоп. Если надо рассмотреть что-то слишком маленькое для нашего взора – берем в руки лупу или микроскоп.
Но не только с помощью чувств мы познаем мир, но и с помощью разума. Причем мы уже поняли, что у нашего разума, как и у чувств, есть ограничения. И для решения познавательных задач мы вынуждены данные ограничения преодолевать.
Как же мы это делаем? Существуют ли телескопы или бинокли для разума?
Наиболее ранние средства, усиливающие разум, были связаны, как представляется, с процедурой измерения. Человек довольно рано понял, что не может определять протяженность, вес и сопоставлять предметы по этим параметрам на глазок. Соответственно, появились измерения и простейшие измерительные шкалы.
Примером такого средства, усиливающего разум и органы чувств, являются простейшие весы с двумя чашами. Они позволяют определить, какой предмет легче, а какой тяжелее, то есть дают относительную оценку массы: какой предмет из лежащих в чашах опускается ниже, тот и весит больше. Если же требуется получить абсолютные показатели, то необходимо, чтобы на одной чаше весов был предмет известной массы. Именно так и работают весы с гирьками: нам известна масса каждой гирьки, мы уравновешиваем ими весы, на другой чаше которых находится взвешиваемый предмет. И в результате узнаем массу этого предмета, подсчитывая, сколько гирек и какой массы нам пришлось положить на другую чашу весов для достижения равновесия.
Вообще, чтобы что-то измерить, нам нужны три элемента:
• измерительный инструмент (прибор);
• шкала измерения;
• единица измерения.
Например, вы устанавливаете встроенную стиральную машину. Вам необходимо определить, поместится ли она, и вы берете рулетку. Рулетка – это измерительный инструмент. На ней изображена измерительная шкала, единицей измерения которой является метр. Причем у этой шкалы есть и более мелкое дробление – на сантиметры и миллиметры.
