Какую же стратегию следует нам применять для численного моделирования эйнштейновских уравнений поля в вакууме? Подумаем, каким бы мог быть ответ на этот вопрос. Мы хотим найти численное представление метрики, описывающей геометрию пространства-времени. Вспомним, что метрика – это правило определения расстояния между любыми двумя точками. Дифференциальная геометрия позволяет нам сосредоточить внимание только на соседних точках. Так называемый метрический тензор описывает расстояние от данной точки до любой другой, достаточно близкой к ней. В практическом смысле метрический тензор – это матрица чисел размерностью 4 × 4. Получить точное решение уравнений поля означает иметь точное значение метрического тензора в каждой точке пространства-времени. Решения Шварцшильда и Керра для черной дыры обеспечивают эту информацию в виде очень сложных математических формул. В численных моделях точных формул нет, и, разумеется, мы не можем определить метрический тензор в бесконечно большом количестве точек пространства-времени. Поэтому мы делаем так: изолируем ту область пространства-времени, которая нас в первую очередь интересует (скажем, некоторую область вокруг пары черных дыр, которые вот-вот сольются) и заполняем ее сетью точек. Каждой из конечного числа точек этой сети мы хотим приписать приблизительное значение метрического тензора. Если вернуться к аналогии с медленно загружающимся видео, нашей целью является всё большее и большее измельчение сети точек на экране, и с каждым циклом улучшения мы хотим устанавливать всё более и более точные значения всех компонентов изображения (в нашем случае – метрики) в каждой точке сети. Коротко говоря, мы дискретизируем искривленное пространство-время, чтобы свести его к математической конструкции, с которой может работать компьютер. И суть нашей стратегии численного моделирования в том, чтобы эта дискретизация происходила со всё большим и большим пространственным разрешением сети на всё большем и большем числе точек. Сегодня в типичной масштабной задаче численного моделирования задействованы сотни миллионов или даже миллиарды точек сети.
Наложить ограничения на уравнения Эйнштейна в вакууме означает, что пространство-время не может искривляться любым способом, но только в соответствии с определенными условиями, которые определяют, как именно растягивается и сжимается метрика в соседних точках пространства. Исходные уравнения Эйнштейна – это дифференциальные уравнения, а это значит, что «соседние» следует понимать как «сколь угодно близкие». Когда мы имеем дело с дискретизированным пространством-временем, приходится немного изменять уравнения Эйнштейна так, чтобы они стали теми правилами, по которым метрика в данной точке растягивает и сжимает метрику в соседних точках сети
[20]. Эти дискретизированные уравнения Эйнштейна могут, по крайней мере в принципе, быть введены в компьютер, потому что их система состоит из конечного числа уравнений с конечным числом переменных.
Остаются, правда, две трудности, которые выглядят необычно для общей теории относительности: сингулярности и ограничения. Проблема сингулярностей, вообще говоря, нам знакома и является вполне физической: в недрах черных дыр спрятаны сингулярности, в которых эйнштейновские уравнения поля теряют смысл. Если мы не проявим осторожности, численные модели пространства-времени могут распространиться и на внутренние области черных дыр, и, когда компьютер встретится с сингулярностью, возникнут проблемы. Может показаться, что это мелочь: физическая интуиция подсказывает нам, что любые проблемы, с которыми компьютерная модель встречается внутри горизонта черной дыры, можно проигнорировать, так как никакие сигналы все равно не могут появиться оттуда и «испортить» остальную часть моделирования. Но в действительности этот вопрос более тонкий, чем кажется. Если в какой-то точке некоторого слоя вычислительной сети встретилась сингулярность, – а это значит, что метрический тензор содержит некоторые бесконечные компоненты, – тогда растяжения-сжатия, закодированные в дискретизированных уравнениях Эйнштейна, сделают сингулярными и соседние точки в других слоях. Те «заразят» сингулярностью своих соседей и т. д. Очень трудно, оказывается, написать программу, которая предотвращает неконтролируемое распространение сингулярности. Правильный подход заключается в том, чтобы идентифицировать горизонт вскоре после его формирования и запрограммировать компьютер так, чтобы он не позволял модели заглядывать под него слишком глубоко. Фиксируя внутри горизонта тонкий слой пространства-времени, мы можем добиться того, чтобы вблизи горизонта физика классической теории относительности правильно отображалась дискретизированными уравнениями Эйнштейна; но исключая из рассмотрения глубокие внутренние слои, мы тем самым удерживаем компьютер от встречи с сингулярностью. В этой стратегии исключения усиленно используется принцип космической цензуры Пенроуза, согласно которому сингулярность в решениях уравнений Эйнштейна не может появиться нигде, кроме как внутри горизонта событий. И тот факт, что численное моделирование уравнений Эйнштейна успешно работает, когда мы применяем стратегию исключения в том виде, как мы ее только что описали, дает впечатляющее подтверждение принципа космической цензуры.
Проблема ограничений сама по себе более технического свойства, но ее тоже стоит упомянуть, потому что ее анализ позволяет лучше понять, как в действительности строится численное моделирование уравнений Эйнштейна. Обычно мы начинаем с некоторой исходной геометрии, например с двух невращающихся черных дыр, движущихся по орбитам друг вокруг друга, и ставим вопрос: что произойдет, когда мы отправимся вперед по оси времени? На практике это означает, что мы рассматриваем нашу большую сеть, дискрети-зирующую четырехмерное пространство-время, как разделенную на трехмерные пространственные элементы и что мы определяем течение времени в терминах функции хода, чтобы соединить эти элементы воедино. Обычно для каждого такого трехмерного пространственного элемента употребляется термин «квант времени», так как мы думаем о нем как о множестве точек в определенный момент времени. Что мы теперь должны сделать, так это задать нашему компьютеру метрику всего на нескольких (может быть, только на двух) последовательных квантах времени и затем запрограммировать его на продвижение на следующий квант посредством дискретизированных уравнений Эйнштейна. Мы планируем повторять эту процедуру, применяя стратегию исключения, чтобы избежать сингулярности, столько, сколько нам понадобится для того, чтобы черные дыры в нашей модели слились. И мы рассчитываем на то, что геометрия будет эволюционировать до тех пор, пока на последнем кванте времени в нашей модели мы не увидим единую слившуюся черную дыру плюс моментальную картину всех гравитационных волн, порожденных столкновением и уносящихся от его центра.
Но тут-то нас и ждет подвох. Как только выбор кванта времени сделан, оказывается, что некоторые из уравнений Эйнштейна не могут нам помочь в продвижении от одного кванта к следующему. Вместо этого их хватает всего лишь на то, чтобы ограничить тип геометрии, разрешенный для каждого кванта. Даже если мы сумеем со всей осторожностью добиться идеального удовлетворения этих ограничений для одного кванта времени, мы обычно обнаруживаем, что при использовании дискретизированных уравнений Эйнштейна для развития модели по оси времени ограничения для следующего кванта времени выполняются уже неидеально. Что еще хуже, это несовершенство растет со временем, и вся наша модель полностью теряет смысл! Решение этой проблемы оказывается столь же изощренным, как и сама проблема. Вместо того чтобы пытаться идеально удовлетворить ограничения на каждом кванте времени, мы должны заранее предвидеть, что в точности добиться этого не удастся – но зато мы можем изменить дискретизированные уравнения Эйнштейна, добавляя к ним то, что можно условно охарактеризовать как возвращающую силу. Она каждый раз будет как бы подталкивать решение обратно к удовлетворению ограничений. Эта возвращающая сила действует очень похоже на возвращающую силу пружины: растяните пружину от состояния равновесия, и она сожмется опять, чтобы вернуться в равновесное состояние, причем сила эта будет тем больше, чем дальше мы отошли от равновесия. В уравнения Эйнштейна мы, конечно, не вводим никакой физической силы – это скорее математический трюк, и в этом случае «равновесию» соответствует решение, удовлетворяющее ограничениям. В результате такого подхода работа с ограничениями, наряду с тщательным отбором вариантов представления уравнений Эйнштейна в дискретизированном пространстве-времени, приводит к созданию моделей, которые вполне способны отразить все детали структуры пространства-времени, проявляющиеся при столкновениях черных дыр, – конечно, при условии, что мы рассматриваем только геометрию вне горизонта.
