Леонардо все больше занимал вопрос о том, как можно использовать геометрию для понимания природных явлений, и он принялся исследовать разные теоретические случаи, в которых наблюдалось сохранение объема при преобразовании одной геометрической фигуры в другую. Например, можно было взять квадрат и преобразовать его в круг, который имел бы ровно такую же площадь. А в трехмерном пространстве можно было бы показать, как сфера превращается в куб, сохраняя прежний объем.
Силясь произвести подобные преобразования и постоянно записывая свои догадки, Леонардо способствовал возникновению топологии — раздела математики, который изучает свойства пространств, остающихся неизменными при различных деформациях. Мы видим, как он испещряет тетрадь за тетрадью (то упорно и одержимо, то рассеянно и машинально) серповидными фигурами, которые затем преобразует в прямоугольники той же площади, а иногда проделывает то же самое с пирамидами и конусами
[391]. Леонардо умел зарисовывать подобные преобразования, просто представляя их мысленно, а иногда он проводил такие эксперименты при помощи мягкого воска. Но он не очень-то умел обращаться с алгебраическими инструментами геометрии, которые требовали перемножать квадраты, квадратные корни, кубы и кубические корни чисел. «Научись умножению корней у маэстро Луки», — записал он в тетради, имея в виду Пачоли. Однако Леонардо так и не овладел этими премудростями и потому до конца жизни пытался совершать геометрические преобразования, прибегая не к уравнениям, а к рисункам
[392].
Он начал собирать воедино свои записи, посвященные этой теме, а в 1505 году объявил о намерении написать книгу, «озаглавленную „О преобразовании“, т. е. о преобразовании одного тела в другое без убавления или возрастания материи»
[393]. Этот трактат постигла та же судьба, что и все прочие: он так и остался блестящим черновиком на страницах тетрадей, но не превратился в печатную книгу.
Квадратура круга
Одна связанная с сохранением объема тема, которая очень увлекла Леонардо и в итоге лишила его покоя, восходила еще к задаче, сформулированной древнегреческим математиком Гиппократом Хиосским. Речь идет о «гиппократовых луночках» — серповидных фигурах, ограниченных дугами двух окружностей. Гиппократ обнаружил замечательное математическое свойство этих фигур: если построить луночку на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вписанного в бóльшую окружность, то площадь этой луночки будет равна половине площади этого треугольника. Так он впервые нашел способ точно вычислить площадь изогнутой фигуры, то есть луночки, найдя равновеликую ей фигуру с прямыми сторонами, вроде треугольника или прямоугольника.
Это заворожило Леонардо. Он заполнял страницы своих тетрадей окружностями и заштрихованными луночками, а потом чертил треугольники и прямоугольники, имевшие ту же площадь, что и луночки. Год за годом он упорно искал способы создавать дуговые фигуры, имевшие равновеликие площади с треугольниками и прямоугольниками, словно эта игра поработила его. Любопытно, что Леонардо никогда не записывал точных дат, обозначавших основные вехи его работы над картинами, зато к геометрическим занятиям относился совсем иначе: каждый маленький успех становился для него историческим моментом, который надлежало зафиксировать письменно. Однажды ночью он с явным торжеством записал: «Давно изыскивая способы построить прямой угол к двум равновеликим луночкам… ныне, в год 1509-й, в канун майских календ [30 апреля], я нашел решение в 22-м часу, в воскресенье»
[394].
59. Поиск равновеликих по площади геометрических фигур.
За этим поиском равновеликих фигур стояли не только интеллектуальные, но и эстетические мотивы. Через некоторое время его геометрические экспериментальные фигуры — например, квазитреугольники, образованные дугами, — превратились в художественные элементы. На одной группе листов (илл. 59) он выполнил 180 чертежей, на которых криволинейные и прямолинейные фигуры частично накладываются друг на друга, а рядом объясняется, как соотносятся между собой площади заштрихованных и незаштрихованных частей
[395].
Как обычно, Леонардо решил собрать все записи на эту тему в трактат, даже придумал для него латинское название: De ludo geometrico («О геометрической игре»). Можно уже не удивляться тому, что все эти страницы с рисунками и записями так никогда и не были опубликованы в виде трактата
[396]. Здесь любопытен выбор слова ludus: оно обозначает забаву или развлечение, которое целиком поглощает внимание человека и в то же время напоминает игру. Похоже, иногда эта возня с луночками так затягивала Леонардо, что чуть не сводила его с ума. С другой стороны, для него это была увлекательная интеллектуальная игра, способная (как он полагал) приблизить его к тайнам прекрасных закономерностей природы.
___
Эта страстная одержимость привела Леонардо к древней неразрешимой задаче, о которой рассказывали Платон, Плутарх, Витрувий и другие. По легенде, в V веке до н. э. на остров Делос обрушилась чума, и его жители обратились в Дельфийское прорицалище за советом. Жрецы объявили, что чума прекратится, если они сумеют в точности удвоить жертвенник Аполлона, имевший форму куба. Делосцы увеличили вдвое длину каждого ребра куба, но чума продолжала свирепствовать. В ответ на жалобы пифия сказала, что делосцы, удвоив длину ребер, увеличили алтарь в восемь раз, а нужно ровно в два раза. Чтобы решить эту задачу геометрическим путем, требовалось умножить длину каждого ребра на корень кубический из 2.
Несмотря на сделанную памятку себе — «научись умножению корней у маэстро Луки», — Леонардо так и не справился с квадратными корнями, не говоря уж о кубических. Но даже если бы он умел с ними обращаться, в данном случае это не помогло бы ему. Греки, стремившиеся избавиться от чумы, тоже не могли решить задачу удвоения куба при помощи обычных вычислений, потому что корень кубический из 2 не является квадратичной иррациональностью. Зато Леонардо пытался найти геометрическое решение этой задачи: «Удвой квадрат, образуемый диагональным сечением данного куба, и у тебя будет диагональное сечение куба вдвое большего, чем данный». Он знал, что можно удвоить исходный квадрат, построив на его гипотенузе новый квадрат, и в данном случае решил просто действовать по аналогии, но запутался
[397]. Эта задача не решается при помощи циркуля и линейки.
