Эти элементы он называл неделимыми. Вполне возможно, что неделимыми могли быть отрезки прямых. У самого Кавальери не было ясности относительно того, что именно представляют собой его неделимые. Он лишь утверждал, что если площадь фигуры разбивать на все меньшие и меньшие прямоугольники, то в конечном итоге получатся неделимые.
В одной из своих книг «Шесть геометрических упражнений» Кавальери «объяснил», что рассматриваемая фигура состоит из неделимых, как, например, ожерелье – из бусин, ткань – из нитей и книга – из страниц. Руководствуясь столь неясными понятиями, Кавальери, тем не менее, научился сравнивать две площади или два объема и получать правильные соотношения между двумя сравниваемыми величинами. Не имея возможности объяснить, как из бесконечного числа элементов (неделимых) можно составить фигуру конечной протяженности, Кавальери пытался уйти от ответа на вопрос, отказываясь дать сколько-нибудь точную интерпретацию неделимых. Иногда он в довольно туманных выражениях говорил о бесконечной сумме линий, не объясняя явно природу бесконечности. В других случаях Кавальери называл свой метод не более чем прагматическим приемом, позволяющим заменить сложный метод исчерпывания, применявшийся древними греками. По свидетельству Кеплера, приведенному в его сочинении «Новая стереометрия винных бочек», Кавальери ссылался на современных ему геометров, обращавшихся с понятиями еще более свободно, чем он сам.
В защиту Кавальери выступил Паскаль. В своих «Письмах из Деттонвиля» (1658) он утверждал, что геометрия неделимых превосходно согласуется с евклидовой геометрией: «То, что может быть доказано с помощью истинных правил неделимых, может быть также доказано со всей строгостью на манер древних». По мнению Паскаля, геометрия неделимых Кавальери и геометрия древних греков отличаются только терминологией. Метод неделимых, считал Паскаль, должен быть принят каждым математиком, претендующим на то, чтобы считаться геометром. Но у Паскаля не было определенного мнения относительно математической строгости. Иногда он утверждал, что, подобно тому, как религия ставит милосердие превыше разума, так и для получения правильных результатов необходима истинная «утонченность», а не логика, присущая геометрии. Парадоксы геометрии, проявившиеся в математическом анализе, Паскаль сравнивал с кажущимися нелепостями христианства и считал, что неделимые значат в геометрии не более чем суд мирской в сравнении с судом Божьим.
Согласно Паскалю, необходимые поправки в идеи нередко вносит не разум, а душа. В своих «Мыслях» он говорит: «мы постигаем истину не только разумом, но и душой. Из последнего источника мы познаем первые принципы, и разум, не принимающий в этом участия, тщетно пытается сражаться с душой… на нашем знании души и инстинкта с необходимостью зиждется разум, и этим знанием он питается». В своем трактате «О геометрическом уме» Паскаль недвусмысленно заявляет: «Не стану говорить здесь о божественных истинах, ибо они бесконечно выше природы, и я не намерен подчинять их искусству убеждения. Один лишь Бог может располагать их в душе так, как Сам того пожелает. Мне известно, что по Его воле эти истины должны из сердца проникать в ум, но не наоборот, дабы смирилась гордыня рассудка, чающая быть судьей в делах волеизъявления…».
Наибольший вклад в создание математического анализа внесли Ньютон и Лейбниц. Ньютон почти не занимался понятием интеграла, но интенсивно разрабатывал понятие производной.
Заметим, что в XVII веке вся математическая наука именовалась геометрией, поскольку любая истина математики должна была получать геометрическую интерпретацию.
У Ньютона не было большой ясности относительно логического обоснования понятия производной. Его терминология туманна и в дальнейшем от неё откажутся. Внесенные Ньютоном изменения, по существу, никак не сказались на ходе вычисления производной, или, как ее предпочитал называть сам Ньютон, флюксии.
Учёный дал следующее объяснение понятия «флюксия»: «Флюксии, когда приращения флюэнт [переменных] возникает во все большем числе, отличаются сколь угодно мало и сами сколь угодно малы, и если говорить точно, то «они пропорциональны возникающим приращениям…».
Самым сильным нападкам математический анализ подвергся со стороны философа епископа Джорджа Беркли, опасавшегося, что вдохновляемая математикой философия механицизма и детерминизма создаст растущую угрозу религии. В 1734 году Беркли опубликовал сочинение под названием «Аналитик или Рассуждение, адресованное одному неверующему математику», в котором исследуется, является ли предмет, принципы и заключения современного анализа, более отчетливо познаваемыми и с большой очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры. Беркли с полным основанием сетовал на загадочность и непонятность того, чем занимаются математики, поскольку те никак не обосновывали и не объясняли своих действий. Беркли подверг критике многие из рассуждений Ньютона, и, в частности, указал на то, что в рассуждении о квадратуре кривых Ньютон (обозначивший приращение через x, а не через h) выполнил несколько алгебраических операций, после чего отбросил члены, содержавшие h, мотивируя это тем, будто приращение h обратилось в ноль. Поступая так, по мнению Беркли, Ньютон допустил вопиющее нарушение закона противоречия. Такого рода рассуждения в теологии были бы признаны неприемлемыми. Беркли утверждал, что первые флюксии (первые производные), по-видимому, выходят за рамки человеческого разумения, поскольку находятся за пределами конечного: «а если непостижимы первые [флюксии], то что можно сказать о вторых, третьих [производных от производных] и т.д. тот, кто сумеет постичь начала начал или конец концов возможно окажется достаточно проницательным, чтобы понять подобные вещи. Но, по моему глубокому убеждению, большинство людей не в состоянии понять их в каком бы то ни было смысле… тому, кто сумеет превратить вторую и третью производную, думается … вряд ли стоит особенно привередничать по поводу того, или иного пункта в Священном писании».
Говоря об исчезновении (обращении в ноль) h и R, Беркли заметил: «предполагая, что приращения исчезают, мы, несомненно, должны предположить, что их пропорции выражения и все вытекающее из их существования, исчезают вместе с ними». По поводу предложенного Ньютоном представления о производных как об отношении двух исчезающее малых величин h и R, Беркли высказался так: «они не конечные величины, не величины бесконечно малые, не ничто. Как же не назвать их призраками покинувших нас величин».
Несколько иной подход к математическому анализу предложил Лейбниц. По его мнению, величины, обозначенные как h и R (Лейбниц обозначил их символами dx и dy), убывая, достигают «исчезающе малых», или «бесконечно малых» значений.
Лейбниц утверждал, что бесконечно малое – не действительные, а некие фиктивные числа. Но эти фиктивные, или мнимые, числа подчиняются тем же правилам арифметики, что и обычные числа. По мнению Лейбница, все эти предельные величины, т.е. все эти действительные бесконечности и «бесконечно малые», можно использовать как удобный рабочий инструмент в вычислениях подобно тому, как алгебраисты с превеликой пользой используют мнимые корни. Напомним, что во времена Лейбница мнимые корни имели весьма шаткий статус.
