Кроме того, необходимо, чтобы ученики рассуждали на уроках математики, поскольку сам акт осмысления задачи и анализа рассуждений другого человека вызывает интерес. Ученики и взрослые гораздо активнее участвуют в работе, когда им дают открытые задачи и разрешают предлагать свои методы и пути решения, чем в работе над задачами, требующими вычислений и ответа. В главе 5 представлено много содержательных математических задач, требующих логических рассуждений, а также показаны некоторые способы их составления.
В сфере обучения математике часто возникает и другая проблема: люди убеждены в том, что эта дисциплина сводится к вычислениям, а лучшие математические умы — люди, которые умеют быстро вычислять. Более того, некоторые считают, что успешно заниматься математикой может только тот, кто умеет быстро думать. Но многие математики, которых можно считать весьма одаренными людьми, выполняют вычисления медленно, потому что их рассуждения очень тщательны и глубоки.
Лоран Шварц получил Филдсовскую премию и был одним из величайших математиков своего времени. Однако в школе он решал математические задачи медленнее всех одноклассников. В автобиографии «Математик, преодолевающий трудности своего столетия», опубликованной в 2001 году, Шварц вспоминает свои школьные годы и говорит, что он чувствовал себя глупым, поскольку в его школе ценилась способность быстро думать, а он размышлял медленно и глубоко.
Я никогда не был уверен в своих способностях и считал, что я не наделен интеллектом. Я всегда думал и до сих пор думаю медленно. Мне нужно время, чтобы уловить смысл происходящего, поскольку мне необходимо понять все до конца. К концу одиннадцатого класса я в глубине души считал себя тупым. Это долго меня беспокоило.
Я до сих пор думаю медленно… В конце одиннадцатого класса я проанализировал ситуацию и пришел к выводу, что скорость мышления не имеет прямого отношения к интеллекту. Гораздо важнее глубоко понимать суть вещей и их взаимосвязи. Вот в чем заключается интеллект. Скорость размышлений не важна (Schwartz, 2001).
Шварц, как и многие другие математики, пишет об искажении дисциплины на уроках, а также о том, что суть математики в действительности сводится к определению связей и глубоким размышлениям. Многие школьники думают точно так же медленно и глубоко, но не верят в себя. Сама необходимость быстрых вычислений отталкивает многих детей, особенно девочек (подробнее см. главу 4 и главу 7), но по-прежнему в ходу тесты, флеш-карточки и математические приложения с ограничением времени на выполнение заданий. Национальные лидеры, например экс-президент Национального совета преподавателей математики (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM) Кэти Сили, стараются опровергнуть это мнение, предлагая новый способ эффективного изучения предмета (см. Seeley, 2009, 2014), чтобы люди, которым свойственно медленное и глубокое мышление (Boaler, 2002b), прекратили думать, будто они не созданы для математики. В следующей главе показан подход, при котором ценится глубина, а не скорость мышления, который помогает развить связи в головном мозге и пробуждает интерес у гораздо большего количества учеников.
Резюме
В начале этой главы шла речь о том, что математика отличается от других дисциплин. Но это связано не с ее природой, как считают многие, а с серьезными и распространенными заблуждениями по поводу этой дисциплины: будто она основана на правилах и процедурах; будто успешно заниматься ею может только тот, кто умеет быстро думать; будто главное в математике — определенность и правильные и неправильные ответы, и суть ее сводится к числам. Такие ошибочные представления — одна из причин того, что до сих пор в преподавании математики используются традиционные, неправильные и неэффективные методы. Многие родители ненавидели этот предмет в школе, но все равно выступают в поддержку традиционного подхода, полагая, что так и должно быть, что отталкивающие методы преподавания, которые они познали на своем опыте, обусловлены природой самой математики. Многим учителям начальной школы также пришлось пережить в свое время ужасные испытания при изучении математики; им трудно преподавать ее, поскольку и для них она выглядит как формальный набор процедур. Когда я показываю таким учителям, что математика — нечто иное и не нужно подвергать своих учеников тем же тяготам, через которые прошли они сами, у них возникает подлинное чувство освобождения и даже эйфории, как показано в главе 5. Если мы проанализируем, сколько заблуждений встречается на уроках математики, нам будет легче понять масштаб проблем в ее преподавании по всему миру, а также (что еще важнее) сделать вывод о том, что неудач в математике и тревог в связи с этим предметом вполне можно избежать.
Взглянув на математику, которая присутствует в окружающем мире и которую используют специалисты, мы увидим, что это творческая, наглядная, связная, живая дисциплина. Но многие ученики воспринимают ее как набор бесполезных методов и процедур, которые нужно зачем-то запоминать; как сотни ответов на вопросы, которых они никогда не задавали. Когда людей спрашивают о применении математики в реальном мире, они, как правило, думают о числах и вычислениях (как рассчитать ипотечный кредит или цену продажи). Но математическое мышление не сводится только к этому. Мы применяем математику, когда рассуждаем, как провести время, сколько событий и заданий можно запланировать на день, какая площадь нужна для установки оборудования или разворота автомобиля, сколько событий может произойти. Математика помогает понять, как распространяются твиты и сколько людей могут их получить. Мир с уважением относится к людям, которые быстро выполняют вычисления, но некоторые люди при этом не способны достичь важных целей с их помощью, зато другие, хотя и размышляют очень медленно и совершают много ошибок, могут сотворить с помощью математики нечто удивительное. В современном мире вычисления полностью автоматизированы, привычны и ни у кого не вызывают удивления. Сильные мыслители теперь — люди, которые устанавливают связи, рассуждают логически и творчески используют пространство, данные и числа.
Нельзя винить учителей в том, что во многих школах преподается ограниченная и выхолощенная версия математики. Учителям обычно дают длинные списки тем, которые они должны объяснить, вместе с сотнями описаний. Но на глубокое изучение конкретных идей времени не предусмотрено. Когда учителям дают списки тем для преподавания, они видят предмет, разделенный на составляющие — как разобранный на части велосипед, превратившийся в груду деталей, которые ученикам предстоит чистить и полировать весь год. В списки тем не включены связи; дисциплина в них представлена так, будто связей вообще не существует. Я не хочу, чтобы ученики целый день полировали отдельные детали велосипеда! Я хочу, чтобы они свободно ездили на велосипедах, получая удовольствие от математики, испытывая радость от установления связей и впадая в эйфорию от истинного математического мышления. Когда мы раскроем суть математики и будем преподавать ту широкую, наглядную, творческую математику, о которой идет речь в этой книге, она станет предметом, который может чему-то научить. Ученикам трудно развить мышление роста, если они должны только давать правильные ответы на четкие вопросы. Такие вопросы сами по себе способствуют формированию фиксированного мышления. Когда мы преподаем математику (истинную науку о глубинных связях), это расширяет возможности для формирования мышления роста и обучения, а в классах появляется много счастливых, воодушевленных и увлеченных учеников. В следующих пяти главах представлено много идей, как добиться этого, а также приведены результаты исследований, подтверждающие эти идеи.
