Математическое мышление подразумевает активный подход к познанию, при котором ученики видят свою задачу в понимании и осмыслении материала. Чувство числа отражает глубокое понимание математики, и оно формируется при применении математического мышления, суть которого — в наполнении чисел и количества смыслом. Нужно развивать чувство числа у учеников — не только потому, что это основа высшей математики (Feikes & Schwingendorf, 2008), но и потому, что оно помогает сформировать математическое мышление, и знание способов развития одного способствует развитию другого.
На рисунке 4.1 стрелками обозначены методы, которые необходимо изучить, а в ячейках отражены изучаемые концепции. В нижнем левом углу представлен метод счета. Когда ученики учатся считать, они запоминают порядок и названия чисел, но у них формируется и концепция числа — представление о нем. В самом начале обучения сложению ученики осваивают метод «продолжение счета». Он используется, когда заданы два числа (например, 15 и 4). В этом случае вы осваиваете сложение так: сначала считаете до 15, а затем продолжаете счет — 16–17–18–19. Изучая метод продолжения, ученики усваивают понятие суммы. Речь не о методе сложения, а о самой идее. На следующем этапе можно научиться складывать группы чисел, например три числа 4. Когда ученики осваивают этот навык, у них формируется концепция произведения. Здесь снова речь не о методе (в данном случае умножения), а об идее. Концепции числа, суммы и произведения требуют глубоких размышлений. Изучение методов, например сложения и умножения, должно быть не самоцелью, а элементом концептуального понимания чисел, суммы и произведения, а также их соотношения
Рис. 4.1. Математические методы и концепции
Источник: Gray & Tall, 1994.
Когда мы занимаемся математикой, в нашем мозге происходит процесс сжатия. Когда вы изучаете область, о которой ничего не знаете, она занимает много места в вашем мозге: ведь вам нужно напряженно размышлять, как это работает и как разные концепции соотносятся друг с другом. Но математические понятия, которые вы изучили ранее и хорошо знаете (например, сложение), занимают в мозге небольшое пространство. Вы можете использовать эти знания, даже не задумываясь. Процесс сжатия происходит потому, что головной мозг — крайне сложный орган, контролирующий много разных процессов, и в любой момент он может сосредоточиться только на нескольких несжатых концепциях. Те же, которые вы хорошо знаете, сжимаются и архивируются. Уильям Терстон, выдающийся математик, получивший Филдсовскую премию, так описывает процесс сжатия.
Математика поразительно легко поддается сжатию: вы можете долго и напряженно трудиться, шаг за шагом прорабатывая один процесс или идею с нескольких точек зрения. Но как только вы по-настоящему поймете нечто и сможете увидеть это как единое целое, скорее всего, произойдет очень сильное ментальное сжатие. Вы можете отправить эту информацию в архив, а при необходимости быстро и полностью восстановить и использовать ее всего лишь за один шаг в рамках другого ментального процесса. Озарение, которым сопровождается такое сжатие, — одна из истинных радостей математики (Thurston, 1990).
Многие ученики не считают, что математика дарит «истинную радость» — отчасти потому, что в их мозге сжатия не происходит. Мозг способен сжимать только концепции, но не правила и методы. Следовательно, у учеников, которые не мыслят концептуально, а воспринимают математику как список правил, подлежащих запоминанию, сжатия не происходит, и их мозг не может упорядочивать концепции и архивировать их, а пытается хранить длинные списки методов и правил. Именно поэтому важно воспитать концептуальный подход к математике — основу математического мышления.
Как насчет фактов?
Многие убеждены, что невозможно постоянно размышлять над математикой на концептуальном уровне, поскольку существует много фактов (например, 8 × 4 = 32), которые надо запомнить. Однако все факты можно осваивать и запоминать в рамках концептуального подхода. К сожалению, большинство учителей и родителей считают, что некоторые области математики основаны на фактах (например, о числах) и их необходимо бездумно оттачивать и быстро заучивать. Но такой подход в первые годы в школе вредит ученикам, заставляя их думать, что преуспевать в математике — значит быстро вспоминать факты, и мешает им развивать математическое мышление.
Сами математические факты — лишь небольшая часть науки, и их лучше изучать путем применения чисел разными способами и в разных ситуациях. К сожалению, часто математические факты рассматриваются по отдельности и у учеников создается впечатление, будто это суть дисциплины и, что еще хуже, умение быстро восстанавливать такие факты в памяти — признак хорошего ученика. Обе эти идеи ошибочны, их нельзя внушать ученикам. Ведь именно они приводят к появлению разочаровавшихся учеников, боящихся математики.
Я росла в Англии в прогрессивную эпоху, когда начальные школы были ориентированы на развитие цельной личности, поэтому мне не приходилось учить наизусть таблицы сложения, вычитания и умножения. Я никогда не заучивала факты, но могу быстро сгенерировать любой из них, поскольку у меня есть чувство числа и я освоила эффективные способы анализа числовых комбинаций. Отказ от заучивания никогда не был сдерживающим фактором для меня. И я стала профессором математики, поскольку у меня есть чувство числа, овладеть которым для учеников гораздо важнее, чем запомнить факты. Процесс формирования этого чувства сводится к изучению математических фактов вместе с глубоким пониманием чисел и их соотношений.
Примерно у трети учеников страх перед математикой возникает после того, как они начинают сдавать тесты с ограничением времени (Boaler, 2014c). Сайен Бейлок и ее коллеги изучали мозг участников исследования с помощью МРТ и пришли к выводу, что математические факты хранятся в кратковременной памяти. Но когда ученики находятся в состоянии стресса (например, если им приходится отвечать на вопросы в условиях ограничения времени), кратковременная память блокируется и ученики не могут получить доступ к математическим фактам, которые они знают (Beilock, 2011). Когда ученики осознают, что не могут эффективно выполнять тесты с ограничением времени, они начинают тревожиться и теряют уверенность в своих математических способностях. Блокировка кратковременной памяти и связанная с этим тревога особенно распространены среди сильных учеников и девочек. По самым скромным оценкам, минимум треть учеников испытывает очень сильный стресс во время тестов с ограничением времени, причем независимо от своей успеваемости или уровня благосостояния. Если мы постоянно подвергаем учеников такому испытанию, можно считать их потерянными для математики.
Уже установлено, что страх перед математикой испытывают даже пятилетние дети, а тесты с ограничением времени — основная причина этого деструктивного состояния, которое частенько остается у человека на всю жизнь. На своих курсах в Стэнфордском университете я сталкиваюсь со многими студентами, которые испытали психологическую травму в связи с математикой, хотя и добились самых серьезных успехов в учебе. Когда я спрашиваю их, что вызвало у них такое отвращение к математике, многие говорят о том, что именно тесты во втором или третьем классе привели их к выводу, что математика не для них. Некоторые из этих студентов, особенно девушки, рассказывают, что им необходимо было все глубоко понимать (достойная цель). Но когда тесты с ограничением времени стали неотъемлемой частью уроков математики, у них возникло ощущение, что глубокое понимание не ценится или не требуется. Возможно, эти студенты выполняли другую, более важную работу на уроках математики, сосредоточившись на осмыслении и понимании, а тесты на скорость вызывают такие сильные эмоции, что ученики приходят к выводу, будто способность быстро запоминать факты — сама суть математики. Это очень печально. Последствия сосредоточения на запоминании и проведении тестов проявляются в том, что многие бросают математику, и сейчас в этой науке возник кризис (см. www.youcubed.org). Когда в пять лет моя дочь начала изучать таблицу умножения и сдавать тесты, она приходила домой в слезах. Это совсем не те эмоции, которые должны ассоциироваться с математикой, но если мы и впредь будем требовать от детей вспомнить математические факты за ограниченное время, мы не сможем ликвидировать тревогу и неприязнь к математике (Silva & White, 2013).
