Что же сделать, чтобы помочь ученикам усвоить математические факты без тестов? Лучший способ стимулировать изучение фактов и формирование математического мышления — предлагать ученикам концептуальные задания, которые помогут им исследовать и понимать числа и факты о них. Исследователи головного мозга проанализировали поведение учеников, изучающих математику двумя способами. Один подход состоял в использовании стратегий. Например, чтобы запомнить, сколько будет 17 × 8, можно вычислить 17 × 10 (170) и вычесть из результата 17 × 2 (34). Другой способ — просто запомнить факт (17 × 8 = 136). Ученые пришли к выводу, что эти подходы подразумевают использование разных путей в головном мозге, и оба этих пути можно использовать всю жизнь. Но важнее другое: по данным того же исследования, ученики, которые использовали стратегии, добивались гораздо более высоких результатов по сравнению с теми, кто запоминал факты; они отвечали на вопросы теста с такой же скоростью и демонстрировали более правильный переход к новым задачам. Ученые пришли к выводу, что автоматизм следует вырабатывать за счет понимания соотношений между числами, которое достигается в процессе размышлений над числовыми стратегиями (Delazer et al., 2005).
В ходе другого важного исследования было установлено, что обучение эффективнее всего тогда, когда мы используем разные пути в головном мозге (Park & Brannon, 2013). Левое полушарие отвечает за обработку фактической и технической информации; правое — визуальной и пространственной. Ученые пришли к выводу, что изучение математики и результаты носят оптимальный характер, когда полушария мозга обмениваются информацией (Park & Brannon, 2013). Также выяснилось, что при работе над арифметическими задачами, например на вычитание, лучшие результаты получили ученики с самыми сильными связями между полушариями мозга. Это крайне важно для изучения математики. Получается, изучение формальной абстрактной математики, как в школьной учебной программе, более эффективно, когда дети используют визуальное и интуитивное математическое мышление.
В статье YouCubed «Свободное владение математикой без страха», которая оказалась в центре внимания ряда крупных новостных СМИ, мы представили все эти факты и задания, которые учителя и родители могут использовать, чтобы создать условия для формирования этих важных связей в головном мозге. Одна из математических игр, которую мы включили в статью, сразу после публикации стала очень популярной и распространилась с помощью твитов по всему миру.
Участвует несколько учеников. Каждый получает лист бумаги, на котором изображена матрица из 100 пустых ячеек. Первый игрок бросает два игральных кубика и использует выпавшие числа для построения массива в своей матрице из 100 ячеек. Участник может разместить этот массив на любом участке матрицы, но задача в том, чтобы максимально заполнить ее. Зарисовав массив ячеек в своей матрице, игрок записывает числовое выражение, описывающее его. Игра заканчивается, когда после бросания костей ни один игрок не может внести соответствующий массив ячеек в матрицу (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Насколько близко к 100?
В этой игре ученики изучают числовые факты, например значение 2 × 12, но не это главное. Они размышляют над смыслом числовых фактов и над тем, что представляет собой 2 × 12 в визуальном и пространственном виде.
Есть еще одна игра, стимулирующая формирование сильных связей в головном мозге. В ней применяется совсем иной подход к математическим карточкам, который часто вредит детям, как в случае флеш-карточек, ориентированных на зубрежку и высокую скорость запоминания. Цель игры в том, чтобы подобрать карточки с одинаковыми ответами, представленными разными способами, без временных ограничений. Учителя раскладывают карточки на столе и предлагают ученикам по очереди выбирать как можно больше карточек с одинаковыми ответами (представленными в любом виде).
Например, числа 9 и 4 могут быть представлены в виде матрицы, группы предметов (костяшек домино и т. п.) и числового выражения. Подбирая карточки, ученик должен объяснить, почему он решил, что разные на вид карточки эквивалентны. Такое задание также помогает понять суть умножения на визуальном и пространственном уровне, что стимулирует формирование связей в мозге ученика и позволяет ему повторить математические факты. Чтобы усложнить задание, игру можно проводить с карточками, повернутыми лицевой стороной вниз, превратив ее в игру на запоминание. Полный набор карточек есть здесь: http://www.youcubed.org/wp-content/uploads/2015/03/FluencyWithoutFear-2015.pdf (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Математические карточки
Источник: www.youcubed.org.
Такие задания развивают чувство числа и математическое мышление, способствуют формированию новых связей между полушариями головного мозга. Полная противоположность этому подходу — фокус на зубрежке и скорости. Чем больше мы акцентируем внимание учеников на запоминании, тем меньше они стараются задумываться над числами и взаимосвязями между ними, зато развивают и используют чувство числа (Boaler, 2015). Некоторым запоминание математических фактов дается нелегко. Это можно только приветствовать — как свидетельство многообразия жизни и людей.
Представьте себе, как было бы ужасно, если бы учителя проводили тесты на знание математических фактов, а все ученики давали одинаковые ответы с одинаковой скоростью, будто роботы. В ходе одного из последних исследований ученые изучали мозг детей в то время, когда те запоминали математические факты; оказалось что некоторые запоминают факты гораздо лучше других. Это неудивительно: многие считают, что это характерно для более сильных или более умных учеников. Но исследователи обнаружили, что эти дети не относятся к числу сильных, не обладают тем, что исследователи описали как более высокий уровень математических способностей, или более высоким показателем IQ (Supekar et al., 2013). Единственное различие касалось области мозга под названием гиппокамп, которая отвечает за запоминание фактов. Он, как и другие области головного мозга, может увеличиваться в объеме в любом возрасте, как показывают результаты исследования с участием лондонских водителей такси Black Cab (Woollett & Maguire, 2011). Но разные ученики всегда будут запоминать факты с разной скоростью, и их математические способности тут ни при чем.
Рассказ учительницы о психологической травме в связи с запоминанием математических фактов
Во время последнего семинара по профессиональному развитию, который я проводила с учителями из Калифорнии, я рассказала, что в детстве не учила таблицу умножения наизусть. Я отметила, что это никогда не сдерживало меня в жизни, хотя я каждый день занимаюсь математикой. Когда я рассказала об этом перед аудиторией учителей, четыре женщины расплакались. Во время обеда одна из этих учительниц рассказала мне, всхлипывая, что мои слова изменили для нее всё. В детстве у нее были трудности с заучиванием таблицы умножения, и ее отец дал ей понять, что она в каком-то смысле неполноценна. Эта учительница всю свою жизнь считала, что с ней что-то не так. Она рассказала мне, что директор школы присутствовал на ее занятиях и она боялась, что ее «неполноценность» будет обнаружена. Акцент на тестах с ограничением времени и запоминании математических фактов причинил вред очень многим людям.
